《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例】如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一个单位长度为$1m$,嘉嘉从点$A$处将弹力球(看成点)扔向地面,在地面上的点$B处弹起后其运动路线为抛物线$C_{1}$,抛物线$C_{1}在点C$处达到最高,之后落在地面上的点$D$处,已知$OB= 0.5m$,点$C坐标为(2.5,4)$.(1)求抛物线$C_{1}的表达式及点D$坐标;抛物线$C_{1}的表达式为$y = -(x - 2.5)^2 + 4$，点D坐标为$(4.5, 0)$；
(2)弹力球在点$D$处再次弹起,其运动路线为抛物线$C_{2}$,抛物线$C_{2}与C_{1}的形状一致且在E$处最高,点$E与点O的水平距离为6m$.
①求抛物线$C_{1}与C_{2}$最高点的高度差;高度差为$1.75m$；
②有一竖直放置的隔板$MN高0.29m$,且$ON= 7.6m$,若弹力球沿$C_{2}下落过程中要落在隔板MN$上(含端点),其他条件不变的情况下,需要将起弹点$B右移n$米,直接写出$n$的取值范围.$n$的取值范围为$0.1 \leq n \leq 0.2$。

答案： 解:
(1)设 $ C_1 $ 的解析式为 $ y = a(x - 2.5)^2 + 4 $，
其过 $ (0.5, 0) $，$ \therefore a = -1 $，
$ y = -(x - 2.5)^2 + 4 $，$ D(4.5, 0) $；
(2)① $ y = -(x - 6)^2 + k $ 过 $ (4.5, 0) $，
$ \therefore k = 2.25 $，$ \therefore y = -(x - 6)^2 + 2.25 $；
$ \therefore 4 - 2.25 = 1.75m $；
② $ y = -(x - 6 - n)^2 + 2.25 $ 过 $ (7.6, 0) $ 和 $ (7.6, 0.29) $，代入解得 $ n = 0.1 $，$ n = 0.2 $，$ 0.1 \leq n \leq 0.2 $。

变式.(2025·云梦)一次足球训练中,小明从球门正前方$8米的A$处射门,球射向球门的飞行轨迹呈抛物线.当球飞行的水平距离为$6$米时,球达到最高点,此时球离地面$3$米.已知球门高$OB为2.44$米,现以$O$为原点建立如图所示直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素);
解:抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{12}(x - 2)^2 + 3$，球不能射进球门；
(2)对本次训练进行分析,在射门路线的形状,最大高度均保持不变的情况下,小明若希望球射进球门时离地高度$h$(单位:米)满足$1.92\leqslant h\leqslant 2.25$,那么当时他应该带球向正后方移动$m$米($m＞0$)再射门,求$m$的取值范围.
解:$m$的取值范围为$1 \leq m \leq 1.6$。

答案： 解:
(1)球不能射进球门；理由如下:
$ \because $ 小明从球门正前方 8 米的 $ A $ 处射门，当球飞行的水平距离为 6 米时，球达到最高点 3 米，
$ \therefore $ 抛物线的顶点坐标为 $ (2, 3) $，
$ \therefore $ 设抛物线解析式为 $ y = a(x - 2)^2 + 3 $，把点 $ A(8, 0) $ 代入，得:
$ 36a + 3 = 0 $，解得 $ a = -\frac{1}{12} $，
$ \therefore $ 抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{12}(x - 2)^2 + 3 $，
当 $ x = 0 $ 时，$ y = \frac{8}{3} ＞ 2.44 $，$ \therefore $ 球不能射进球门；
(2)由
(1)可知，小明带球向正后方移动 $ m $ 米后射门路线的抛物线为 $ y = -\frac{1}{12}(x - 2 - m)^2 + 3 $，
把点 $ (0, 2.25) $ 代入得:
$ 2.25 = -\frac{1}{12}(-2 - m)^2 + 3 $，
解得 $ m_1 = -5 $ (舍去)，$ m_2 = 1 $，
把点 $ (0, 1.92) $ 代入得:
$ 1.92 = -\frac{1}{12}(-2 - m)^2 + 3 $，
解得 $ m_3 = -5.6 $ (舍去)，$ m_4 = 1.6 $，
$ \therefore m $ 的取值范围为 $ 1 \leq m \leq 1.6 $。