《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例 1】如图 1,$\triangle ADE为\odot O$内接三角形,$∠DAE= 30^{\circ },DE= 1$,则$\odot O$的直径为2.

答案： 2

变式 1.如图 2,$\odot O的内接\triangle ABC$中,$∠BAC= 45^{\circ },\odot O$直径为 8,则弦 BC 的长为$4\sqrt {2}$.

答案： $4\sqrt {2}$

变式 2.如图 3,在$\odot O$中,弦$BC= 4\sqrt {3}$,点 A 在$\overset{\frown }{BC}$上,$∠BAC= 120^{\circ }$,求$\odot O$的半径.4

答案： 解:作直径 CD,连接 BD,则$∠D=60^{\circ },\therefore CD=8,\therefore$$\odot O$的半径为 4.

变式 3.如图 4,已知$\overset{\frown }{AB}= \overset{\frown }{CD},AC= 4,AB⊥CD$交于点 M,求$\odot O$的半径长.$2\sqrt{2}$

答案： 解:连接 CO 并延长交$\odot O$于点 E,连接 AE,AD,
$\because \widehat {AB}=\widehat {CD},$
$\therefore \widehat {AB}-\widehat {BC}=\widehat {CD}-\widehat {BC},$
$\therefore \widehat {AC}=\widehat {BD},$
$\therefore ∠DAM=∠ADM=45^{\circ }=∠AEC,$
$\because ∠CAE=90^{\circ },$
$\therefore CE=4\sqrt {2}\Rightarrow \odot O$的半径为$2\sqrt {2}.$

【典例 2】如图 5,已知$\odot O$的半径为 5,弦 AB,CD 所对的圆心角分别为$∠AOB,∠COD$,若$∠AOB与∠COD$互补,$CD= 6$,求弦 AB 的长.
解:延长 AO 交$\odot O$于点 E,连接 BE,
则$∠AOB+∠BOE=180^{\circ },$
又$∠AOB+∠COD=180^{\circ },$
$\therefore ∠BOE=∠COD,\therefore BE=CD=6,$
$\because AE$为$\odot O$的直径,
$\therefore ∠ABE=90^{\circ },$
$\therefore AB=\sqrt {AE^{2}-BE^{2}}=\sqrt {10^{2}-6^{2}}=$8.

答案： 解:延长 AO 交$\odot O$于点 E,连接 BE,
则$∠AOB+∠BOE=180^{\circ },$
又$∠AOB+∠COD=180^{\circ },$
$\therefore ∠BOE=∠COD,\therefore BE=CD=6,$
$\because AE$为$\odot O$的直径,
$\therefore ∠ABE=90^{\circ },$
$\therefore AB=\sqrt {AE^{2}-BE^{2}}=\sqrt {10^{2}-6^{2}}=8.$

变式 1.如图 6,弦$AB= 2$,弦$CD= \sqrt {2},∠AOB+∠COD= 90^{\circ }$,求$\odot O$半径.

答案：
解:作$\widehat {BE}=\widehat {CD}$,连接 BE,AE,OE,作 EF 垂直 AB 延长线于点 F,

$\therefore ∠AOE=90^{\circ },∠ABE=135^{\circ },\therefore ∠FBE=45^{\circ },\therefore$$BF=FE=1,$
$AF=3,\therefore AE=\sqrt {10},\therefore OA=\sqrt {5},\therefore \odot O$半径为$\sqrt {5}.$

变式 2.如图 7,AB 为$\odot O$的直径,C,D,E 在$\odot O$上,$AC= CD= 1,BE= DE= \sqrt {2}$,求 AB 的长.

答案：
解:连接 CE,CO,OE,DO,

易知$∠COE=90^{\circ },∠CDE=135^{\circ },$
过 E 点作$EM⊥CD$交 CD 的延长线于 M 点,
$(\sqrt {2}R)^{2}=2^{2}+1^{2},\therefore AB=\sqrt {10}.$