《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例1】已知方程$x^{2}-2025x+2026= 0的两根为a,b$,求$(a^{2}-2026a+2026)(b^{2}-2027b+2026)$的值.

答案： 解：
因为$a$是方程$x^{2}-2025x + 2026 = 0$的根，所以$a^{2}-2025a+2026 = 0$，即$a^{2}=2025a - 2026$。
那么$a^{2}-2026a + 2026=(2025a - 2026)-2026a + 2026=-a$。
因为$b$是方程$x^{2}-2025x + 2026 = 0$的根，所以$b^{2}-2025b+2026 = 0$，即$b^{2}=2025b - 2026$。
那么$b^{2}-2027b + 2026=(2025b - 2026)-2027b + 2026=-2b$。
根据韦达定理，对于一元二次方程$x^{2}-2025x + 2026 = 0$（$x^2+px+q = 0$形式，这里$p=-2025$，$q = 2026$），两根$a$、$b$有$ab=q = 2026$。
所以$(a^{2}-2026a + 2026)(b^{2}-2027b + 2026)=(-a)×(-2b)=2ab$。
把$ab = 2026$代入$2ab$，得$2×2026 = 4052$。
综上，$(a^{2}-2026a + 2026)(b^{2}-2027b + 2026)$的值为$4052$。

变式.(2025·西湖)已知$b^{2}-4ac= 0$,若$m是ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的一个根,$n是cx^{2}+bx+a= 0(c≠0)$的一个根,则$m与n$的关系为____$mn=1$.

答案： 1. 首先，对于方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$：
已知$b^{2}-4ac = 0$，根据一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$的求根公式$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}$，则$ax^{2}+bx + c = 0$的根$m=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
因为$b^{2}-4ac = 0$，所以$m =-\frac{b}{2a}$，且$am^{2}+bm + c = 0$，两边同时除以$m^{2}(m\neq0)$得：$c(\frac{1}{m})^{2}+b(\frac{1}{m})+a = 0$。
2. 然后，对于方程$cx^{2}+bx + a = 0(c\neq0)$：
设其根为$x$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2c}$，因为$b^{2}-4ac = 0$，所以$x =-\frac{b}{2c}$。
又因为$n$是$cx^{2}+bx + a = 0(c\neq0)$的一个根，由$c(\frac{1}{m})^{2}+b(\frac{1}{m})+a = 0$可知：
当$m\neq0$时，$\frac{1}{m}$是方程$cx^{2}+bx + a = 0(c\neq0)$的根。
由于$b^{2}-4ac = 0$，方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$和$cx^{2}+bx + a = 0(c\neq0)$都有且只有一个根（重根）。
所以$n=\frac{1}{m}$，即$mn = 1$。
当$m = 0$时，代入$ax^{2}+bx + c = 0$得$c = 0$，这与$c\neq0$矛盾，所以$m\neq0$。
故$m$与$n$的关系为$mn = 1$。

【典例2】已知$x_{1}$、$x_{2}是方程x^{2}+2x+m= 0$的两个不相等的实数根,求$\frac {x_{1}}{x_{1}+1}-\frac {1}{x_{2}+1}$的值.

答案： 解：
首先，根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，两根$x_{1}$，$x_{2}$有$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^{2}+2x + m = 0$，其中$a = 1$，$b = 2$，$c = m$，所以$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=m$。
然后对$\frac{x_{1}}{x_{1}+1}-\frac{1}{x_{2}+1}$进行通分：
$\begin{aligned}&\frac{x_{1}(x_{2}+1)-(x_{1}+1)}{(x_{1}+1)(x_{2}+1)}\\=&\frac{x_{1}x_{2}+x_{1}-x_{1}-1}{x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1}\\=&\frac{x_{1}x_{2}-1}{x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1}\end{aligned}$
最后将$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=m$代入上式：
$\frac{m - 1}{m-2 + 1}=\frac{m - 1}{m-1}=1$
所以$\frac{x_{1}}{x_{1}+1}-\frac{1}{x_{2}+1}$的值为$1$。

变式.(2023·武汉四调)已知$a,b是一元二次方程x^{2}-2x-2= 0$的两根,则$\frac {2a}{a^{2}-b^{2}}-\frac {1}{a-b}$的值是(B)
A.2
B.$\frac {1}{2}$
C.$-\frac {1}{2}$
D.-2

答案： B

【典例3】(2023·崇川四模)已知$a,b是一元二次方程x^{2}-4x-1= 0$的两个实数根,则$2a^{2}+\frac {3}{b}+5b$的值是(C)
A.-18
B.18
C.22
D.20

答案： 1. 首先，根据一元二次方程根与系数的关系：
对于一元二次方程$x^{2}-4x - 1=0$，其中$A = 1$，$B=-4$，$C=-1$，若$a$，$b$是方程的两个根，由韦达定理得$a + b=-\frac{B}{A}=4$，$ab=\frac{C}{A}=-1$。
又因为$a$是方程$x^{2}-4x - 1=0$的根，所以$a^{2}-4a - 1=0$，即$a^{2}=4a + 1$。
2. 然后，对$2a^{2}+\frac{3}{b}+5b$进行变形：
把$a^{2}=4a + 1$代入$2a^{2}+\frac{3}{b}+5b$中，得到$2(4a + 1)+\frac{3}{b}+5b$。
展开式子得$8a+2+\frac{3}{b}+5b$。
进一步变形为$8a + 8b-3b + 2+\frac{3}{b}$（因为$8a+8b = 8(a + b)$）。
由$a + b = 4$，则$8(a + b)=32$，式子变为$32-3b + 2+\frac{3}{b}$。
即$34-3(b-\frac{1}{b})$。
因为$ab=-1$，所以$a=-\frac{1}{b}$，$b-\frac{1}{b}=b + a$。
3. 最后，计算结果：
把$a + b = 4$代入$34-3(b-\frac{1}{b})$中，因为$b-\frac{1}{b}=a + b$，所以$34-3(a + b)$。
再把$a + b = 4$代入$34-3(a + b)$，得$34-3×4$。
根据四则运算$34-12 = 22$。
所以$2a^{2}+\frac{3}{b}+5b$的值是$22$，答案是C。

变式.已知$a,b是方程x^{2}-2025x+1= 0$两根,求$a^{2}-2026a+\frac {2025}{b^{2}+1}$的值.

答案： 1. 首先，根据韦达定理和方程根的性质：
因为$a$是方程$x^{2}-2025x + 1 = 0$的根，所以将$x = a$代入方程$x^{2}-2025x + 1 = 0$，可得$a^{2}-2025a+1 = 0$，即$a^{2}=2025a - 1$，$a^{2}-2026a=(2025a - 1)-2026a=-a - 1$。
又因为$b$是方程$x^{2}-2025x + 1 = 0$的根，所以$b^{2}-2025b + 1 = 0$，则$b^{2}+1 = 2025b$。
由韦达定理可知，对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，若$x_1,x_2$是其两根，则$x_1x_2=\frac{C}{A}$，对于方程$x^{2}-2025x + 1 = 0$（$A = 1$，$B=-2025$，$C = 1$），$a\cdot b=\frac{1}{1}=1$，即$a=\frac{1}{b}$。
2. 然后，化简$\frac{2025}{b^{2}+1}$：
把$b^{2}+1 = 2025b$代入$\frac{2025}{b^{2}+1}$，可得$\frac{2025}{b^{2}+1}=\frac{2025}{2025b}=\frac{1}{b}$。
3. 最后，计算$a^{2}-2026a+\frac{2025}{b^{2}+1}$的值：
将$a^{2}-2026a=-a - 1$和$\frac{2025}{b^{2}+1}=\frac{1}{b}$代入$a^{2}-2026a+\frac{2025}{b^{2}+1}$，得到$-a - 1+\frac{1}{b}$。
因为$a=\frac{1}{b}$，所以$-a - 1+\frac{1}{b}=-a - 1+a=-1$。
所以$a^{2}-2026a+\frac{2025}{b^{2}+1}$的值为$-1$。