《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例1】设 $ x _ { 1 } $、$ x _ { 2 } $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0 $ 的两个根．
(1) $ x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } - 3 x _ { 1 } x _ { 2 } = $30；(2) $ | x _ { 1 } - x _ { 2 } | = $$\sqrt{29}$．

答案： 【典例1】
(1)30；
(2)$\sqrt{29}$。

【典例2】(2025·武昌)已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - ( m - 2 ) x - \frac { m ^ { 2 } } { 4 } = 0 $．若这个方程的两个实数根满足 $ x _ { 1 } = x _ { 2 } + 2 $,求 $ m $ 的值及相应的两根．
$ m $ 的值为0或2，相应的两根为当$m=0$时，$x_{1}=0$，$x_{2}=-2$；当$m=2$时，$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$

答案： 解：$\because x_{1}=x_{2}+2$，$\therefore x_{1}-x_{2}=2$，$\therefore (x_{1}-x_{2})^{2}=4$，$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$，又$x_{1}+x_{2}=m-2$，$x_{1}\cdot x_{2}=-\frac{m^{2}}{4}$，$\therefore (m-2)^{2}+m^{2}=4$，解得$m=0$或$m=2$，$\therefore$当$m=0$时，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-2$；当$m=2$时，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$。

变式．已知 $ m $, $ n $ 是方程 $ x ^ { 2 } - 3 x - 4 = 0 $ 的两根,则 $ ( m ^ { 2 } - 1 ) ( n ^ { 2 } - 1 ) $ 的值是(A)
A．0 B．-6 C．-7 D．6

答案： 变式.A

【典例3】已知 $ x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0 $ 的一根为 $ a $,则 $ 4 - 2 a ^ { 2 } - 4 a = $2．

答案： 【典例3】2

变式1．已知 $ x _ { 1 } $、$ x _ { 2 } $ 是方程 $ x ^ { 2 } + x - 4 = 0 $ 的两根,求 $ 2 x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } - 2 x _ { 2 } $ 的值．

答案： 解：$\because x_{1}+x_{2}=-1$，$x_{1}x_{2}=-4$，又$\because x_{1}^{2}=4-x_{1}$，$\therefore 2x_{1}^{2}-x_{1}x_{2}-2x_{2}=8-2(x_{1}+x_{2})+4=14$。

变式2．已知 $ m $、$ n $ 是方程 $ x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0 $ 的两根,求 $ 2 m ^ { 2 } + 6 n + m n - 5 $ 的值．

答案： 解：$\because m+n=3$，$mn=1$，$m^{2}=3m-1$，$\therefore 2m^{2}+6n+mn-5=6(m+n)+mn-7=12$。