《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例】如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以$AC为直径的\odot O交AB于点D$,交$BC于点E$．
(1)求证：$BE= CE$；
证明:连接$AE$，则$AE\perp BC$，$\because AB = AC$，$\therefore BE = CE$。
(2)若$BD= 2$,$BE= 3$,求$AC$的长．
解:连接$CD$，则$CD=\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}=4\sqrt{2}$，设$AC = x$，则$AD=x-2$，在$\text{Rt}\triangle ADC$中，$(x - 2)^{2} + (4\sqrt{2})^{2} = x^{2}$，$\therefore x =$$9$，$\therefore AC=$$9$。

答案：
(1)证明:连接 $ AE $，则 $ AE \perp BC $，$\because AB = AC$，$\therefore BE = CE$。
(2)解:连接 $ CD $，则 $ CD = \sqrt{BC^{2} - BD^{2}} = 4\sqrt{2}$，设 $ AC = x $，则 $ AD = x - 2 $，在 $ \text{Rt}\triangle ADC $ 中，$(x - 2)^{2} + (4\sqrt{2})^{2} = x^{2}$，$\therefore x = 9$，$\therefore AC = 9$。

变式1.(1)(2023·元调改)如图1,$AB$,$CD是\odot O$的两条弦,$\angle AOB+\angle COD= 180^{\circ }$,$E是AB$的中点,求证：$CD= 2OE$；
证明:延长 $ AO $ 交 $ \odot O $ 于 $ M $，连接 $ BM $，$\because \angle COD = \angle BOM$，$\therefore CD = BM$，又 $ AE = BE $，$ OA = OM $，$\therefore OE = \frac{1}{2}BM$，$\therefore CD = 2OE$。
(2)(2023·武汉)如图2,$OA$,$OB$,$OC都是\odot O$的半径,$\overset{\frown}{AB}= 2\overset{\frown}{BC}$,$AB= 4$,$BC= \sqrt {5}$,求$\odot O$的半径．
解:过 $ O $ 点作 $ OD \perp AB $ 交 $ \odot O $ 于 $ D $ 点，交 $ AB $ 于 $ E $ 点，连接 $ BD $，$\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BC} \Rightarrow BC = BD = \sqrt{5}$，$ AE = BE = 2 $，$ DE = 1 $。设 $ \odot O $ 的半径为 $ R $，在 $ \text{Rt}\triangle OBE $ 中，$ OE^{2} + BE^{2} = OB^{2} \Rightarrow $ $ R^{2} = (R - 1)^{2} + 2^{2} $，$\therefore R = $$\frac{5}{2}$。

答案：
(1)证明:延长 $ AO $ 交 $ \odot O $ 于 $ M $，连接 $ BM $，$\because \angle COD = \angle BOM$，$\therefore CD = BM$，又 $ AE = BE $，$ OA = OM $，$\therefore OE = \frac{1}{2}BM$，$\therefore CD = 2OE$。
(2)解:过 $ O $ 点作 $ OD \perp AB $ 交 $ \odot O $ 于 $ D $ 点，交 $ AB $ 于 $ E $ 点，连接 $ BD $，$\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BC} \Rightarrow BC = BD = \sqrt{5}$，$ AE = BE = 2 $，$ DE = 1 $。设 $ \odot O $ 的半径为 $ R $，在 $ \text{Rt}\triangle OBE $ 中，$ OE^{2} + BE^{2} = OB^{2} \Rightarrow $ $ R^{2} = (R - 1)^{2} + 2^{2} $，$\therefore R = \frac{5}{2}$。

变式2.如图,$A$,$C$,$E为\odot O$上三点,$\overset{\frown}{CA}= \overset{\frown}{CE}$,$AB为\odot O$的直径,$CD\perp AB于D$,$BD= 1$,$AE= 4$．
(1)求$AB$的长；5
(2)延长$CD交AE的延长线于N$,求$DN$的长．3

答案： 解:
(1)连接 $ CO $ 并延长交 $ AE $ 于 $ M $，则 $ OM \perp AE $，易证 $ \triangle COD \cong \triangle AOM $，$ CD = AM = 2 $，$ r^{2} = (r - 1)^{2} + 2^{2} $，$ r = \frac{5}{2} $，$\therefore AB = 5$；
(2)连接 $ BC $，易知 $ \angle CAN = \angle CEA = \angle CBA = \angle ACN $，$\therefore AN = CN$，设 $ DN = x $，$(2 + x)^{2} = 4^{2} + x^{2} $，$ x = 3 $，$\therefore DN = 3$。