《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

7. 如图,在 $ 4 × 4 $ 的正方形网格中,$ \triangle M N P $ 绕某点旋转一定的角度,得到 $ \triangle M _ { 1 } N _ { 1 } P _ { 1 } $,则其旋转中心可能是(B)

A. 点 $ A $
B. 点 $ B $
C. 点 $ C $
D. 点 $ D $

答案： B

8. 如图,将 $ \triangle A B C $ 绕点 $ P $ 顺时针旋转 $ 90 ^ { \circ } $ 得到 $ \triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } $,则点 $ P $ 的坐标是(1,2)。

答案： (1,2)

9. 如图,将 $ \triangle A B C $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转,得到 $ \triangle A D E $,连接 $ B D $,$ B E $。若 $ \angle B E D = 80 ^ { \circ } $,$ \angle A D B = 60 ^ { \circ } $,则 $ \angle C B E $ 的大小是(C)

A. $ 10 ^ { \circ } $
B. $ 15 ^ { \circ } $
C. $ 20 ^ { \circ } $
D. $ 25 ^ { \circ } $

答案： C
解:设∠ADE=α,∠EDB=60°−α,
　
∴∠EBD=40°+α,
　
∴∠CBE=60°+α−(40°+α)=20°.

10. 在平面直角坐标系中,$ A ( 2, 0 ) $,$ B ( 0, 4 ) $,$ C ( 2, 4 ) $,利用无刻度的直尺在正方形网格中作图。
(1) 在图 1 中,点 $ M $ 为 $ A B $ 与格线的交点,将线段 $ A B $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 90 ^ { \circ } $,标出旋转后点 $ M $ 对应点 $ M ^ { \prime } $；
(2) 在图 2 中,点 $ P $ 为 $ A B $ 与横格线交点,将点 $ P $ 绕 $ ( 4, 2 ) $ 逆时针旋转 $ 90 ^ { \circ } $,得点 $ P ^ { \prime } $,作出点 $ P ^ { \prime } $。

答案：
如图所示
　　

11. 问题背景
(1) (2025·新乡) 如图,在 $ \mathrm { Rt } \triangle A C B $ 中,$ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $,$ A C = B C $,点 $ P $ 在 $ A B $ 上,连接 $ C P $,探究 $ A P $,$ B P $,$ C P $ 之间数量关系。
王林同学利用了图形旋转将 $ \triangle A C P $ 绕点 $ C $ 逆时针旋转 $ 90 ^ { \circ } $ 至 $ \triangle B C E $,连接 $ P E $,请补充
解答过程。
(2) 尝试运用：若点 $ P $ 是 $ A B $ 的延长线上一点,其他条件不变,$ A P $,$ B P $,$ C P $ 又存在怎样的数量关系,并证明。
(3) 拓展思考：在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中,$ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $,$ A C = B C $,点 $ P $ 在射线 $ B A $ 上,$ A B = 4 $,$ A P = 1 $,则 $ C P $ 的长为______$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$(直接写出)。

答案：
(1)解:
∵△ACP≌△BCE,
∴∠CBE=∠A=45°,
∴EB⊥AB,
　在Rt△BPE中，
　PE²=PB²+BE²,
∴2CP²=PA²+PB².
(2)证明:将△ACP绕点C逆时针旋转90°至△BCE，连接PE,
∴△ACP≌△BCE,
∴∠CBE=∠A=45°,
　BE=PA,
∴BE⊥AP,
　在Rt△BPE中,PE²=PB²+BE²,
∴2CP²=PB²+AP².
(3)解:①当点P在线段AB上时，由
(1)知2CP²=1²+3²,
CP=$\sqrt{5}$;
②当点P在BA的延长线上时，由
(2)知2CP²=PA²+PB²=26,CP=$\sqrt{13}$