《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例】(2023·武汉)中山公园的人工湖里安装一个喷泉,在湖心处竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分.若记水柱上某一点的位置与水管的水平距离为x米,与湖面的垂直高度为y米,表中记录了x与y的五组数据:

(1)根据表中所给数据,在图1建立的平面直角坐标系中画出表示y与x函数关系的图象;
(2)求y与x的函数表达式;
(3)公园准备调节水管露出湖面的高度,使游船能从抛物线形水柱下方通过.如图2所示,为避免游船被喷泉淋到,要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时,顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米.已知游船顶棚宽度为2米,顶棚到湖面的高度为1.8米,请计算分析水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到多少米才能符合要求?

答案：
【典例】解:
(1)如图1所示;

(2)表中数据$(1,1.25),(3,1.25)$,由抛物线的轴对称性可知:该抛物线的顶点坐标为$(2,1.5)$.
设二次函数的解析式为$y=a(x-2)^{2}+1.5(a≠0)$,
将$(0,0.5)$代入$y=a(x-2)^{2}+1.5$,解得$a=-\frac {1}{4}$,
∴抛物线的解析式为$y=-\frac {1}{4}(x-2)^{2}+1.5$,
即$y=-\frac {1}{4}x^{2}+x+0.5$;
(3)设水管高度至少上调h米.
∴调节后的水管喷出的抛物线的解析式为$y=-\frac {1}{4}x^{2}+x+0.5+h$,由题意可知:当横坐标为$2-1=1$或$2+1=3$时,纵坐标的值不小于$1.8+0.5=2.3$,
$\therefore -\frac {1}{4}×3^{2}+3+0.5+h≥2.3$,解得$h≥1.05$,
∴水管高度至少向上调节1.05米,
$1.05+0.5=1.55$(米),
∴水管露出湖面的高度至少调节到约1.55米才能符合要求.

变式.如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器.将发石车置于山坡底部O处,以点O为原点,水平方向为x轴方向,建立如图2所示的平面直角坐标系,将发射出去的石块当作一个点看,其飞行路线可以近似看作抛物线$y = a(x - 20)^2 + k$的一部分,山坡OA上有一堵防御墙,其竖直截面为ABCD,墙宽BC = 2米,BC与x轴平行,点B与点O的水平距离为28米,垂直距离为6米.
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米.
①求抛物线的解析式;$y=-\frac {1}{40}x^{2}+x$②试通过计算说明石块能否飞越防御墙?能
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上(包括端点B,C),求a的取值范围.$-\frac {1}{50}≤a≤-\frac {1}{56}$

答案： 变式.解:
(1)①$y=-\frac {1}{40}x^{2}+x$;
②$B(28,6)$.
当$x=28$时,$y=-\frac {1}{40}×28^{2}+28=8.4＞6$;
当$x=30$时,$y=-\frac {1}{40}×30^{2}+30=7.5＞6$,
∴石块能飞越防御墙;
(2)$y=a(x-20)^{2}+k$,
过$(0,0),k=-400a,\therefore y=a(x-20)^{2}-400a$,
过B点时,$a=-\frac {1}{56}$;过C点时,$a=-\frac {1}{50}$.
$\therefore -\frac {1}{50}≤a≤-\frac {1}{56}$.