《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

10.(2023·广东)如图,抛物线$y= ax^{2}+c经过正方形OABC的三个顶点A$,$B$,$C$,点$B在y$轴上,则$ac$的值为(B)

A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$-4$

答案： B
解:$B(0,c)$，过A点作$AM⊥OB$于M点，$AM=OM=\frac {c}{2}$，
$A(\frac {c}{2},\frac {c}{2})$代入$y=ax^{2}+c\Rightarrow ac+2=0.$

11.(2024·大连)如图,正方形$ABCD$中,点$B$,$D坐标分别是(-1,-3)$,$(1,3)$,点$C在抛物线y= -\frac{1}{3}x^{2}+bx$的图象上,则$b$的值为____$\frac{2}{3}$.

答案： $\frac{2}{3}$
解:设$C(m,n)$，过点C作$EF⊥x$轴，过点B作$BE⊥EF$，过点D作$DF⊥EF$，
$△BCE\cong △CDF$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l} m+1=3-n\\ m-1=n+3\end{array}\right.$，$\therefore \left\{\begin{array}{l} m=3\\ n=-1\end{array}\right.$，
代入解析式得$-1=-\frac {1}{3}×9+3b$，
$\therefore b=\frac {2}{3}.$

12.(教材P47T5变式)画出二次函数$y= x^{2}-4x+3$的图象,利用图象回答下列问题：
(1)$x^{2}-4x+3＜0$的解集为______；
(2)$y\leqslant 3$时,$x$的取值范围是______；
(3)$x^{2}-4x+3= m$没有实数根,则$m$的取值范围是______.

答案：
解:
(1)$x^{2}-4x+3＜0$的解集为$1＜x＜3;$

(2)当$y=3$时，$x_{1}=0$，$x_{2}=4$，
故$y≤3$时，$0≤x≤4;$
(3)$y=(x-2)^{2}-1≥-1$，
故$m＜-1$时，原方程没有实数根.

13.二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a\neq 0)$的图象如图所示,下列结论：①$b＜0$；②$c＞0$；③$a+c＜b$；④$b^{2}-4ac＞0$.其中结论正确的是______②③④.(填序号)

答案： ②③④
解:①$a＜0$，$-\frac {b}{2a}＞0$，$b＞0$，故错误;
②$c＞0$，正确;
③$x=-1$时，$y＜0$，$a-b+c＜0$，正确;
④$Δ＞0\Rightarrow b^{2}-4ac＞0$，正确.

14.如图,二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a＜0)的图象与x轴的正半轴相交于A(x_{1},0)$,$B两点(0＜x_{1}＜1)$,与$y轴交于点C$,对称轴为直线$x= 2$,且$OA= OC$,下列结论,其中正确的是______①②④.(填写正确结论的序号)
①$abc＞0$；
②$4a+b= 0$；
③若$ax^{2}+bx+c＜x+c$,则$0＜x＜-c$；
④关于$x的方程ax^{2}+bx+c= 0有一个根为x= -\frac{1}{a}$.

答案： ①②④
解:①$a＜0$，$c＜0$，$-\frac {b}{2a}=2$，$b＞0$，正确;
②$b=-4a\Rightarrow b+4a=0$，正确;
③直线AC的解析式$y=x+c$，
$\therefore ax^{2}+bx+c＜x+c$的解集是$x＞-c$或$x＜0$，错误;
④$A(-c,0)$，$ax^{2}+bx+c=0$，$-c\cdot x_{2}=\frac {c}{a}$，
$\therefore x_{2}=-\frac {1}{a}$，正确.