《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例】【证明体验】如图 1,向$\triangle ABC外作等边\triangle ABD和等边\triangle ACE$,连接$BE$,$DC$。求证：$BE = DC$。

答案： 解:
(1)证明略;

【思考探究】如图 2,已知$\triangle ABC$,以$BC为边作等边\triangle BCD$,连接$AD$,若$\angle CAD = 60^{\circ}$,$AD = 4$,$AC = 3$,求$AB$的长。
$AB$的长为$\sqrt{37}$。

答案： 以AD为边向外作等边△ADE，连接CE，作EF⊥AC，由
(1)知AB=CE=$\sqrt{37}$；

【拓展延伸】如图 3,在$\triangle ABC$中,$BC = 8$,以$AB为边作等腰\triangle ABD$,$AB = AD$,连接$CD$。若$CD = 10$,$\angle DAB = 2\angle ACB$,直接写出$\triangle ABC$的面积。

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答案： 作等腰△ACM使AC=AM，∠CAM=∠BAD，连接BM，
∴BM=CD，CM⊥BC，
∴CM=6.作AH⊥CM于H点，
∴CH=3，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times8\times3=12$.

变式.(2023·江汉改编)如图 1,$P为等边\triangle ABC$内一点,$\angle BPC = 150^{\circ}$,连接$AP$。
(1)【作图体验】将$\triangle BPC绕B点逆时针旋转60^{\circ}$,画图；
(2)【模型运用】若$BP = 6$,$CP = 8$,求$AP$的长；
(3)【模型拓展】如图 2,$M$,$N为边AB$,$AC$上动点,且$AM = AN$,在(2)的条件下,求$PM + PN$的最小值；
(4)(2024·新洲)如图 3,$D点在等边\triangle ABC的边BC$上,$\angle ADE = 60^{\circ}$,$AE \perp DE$,$CE平分\angle ACD$,求$\frac{BD}{CD}$的值。

答案：
解:
(1)如图所示;

(2)由
(1)知△BCP≌△BAE，连接PE，
∴∠AEB=∠BPC=150°，
∴∠AEP=90°.在Rt△APE中，$AP^{2}=PE^{2}+AE^{2}$，
∴$AP=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$；
(3)以AP为边作等边△APH，连接HN，△APM≌△AHN，
∴NH=PM.在△PNH中，PN+NH＞PH，
当P，N，H三点共线时，PN+PM最小为10;

(4)延长DE至F使DE=EF，连接AF，CF，△ABD ≌△ACF，
∴CF=BD，∠ACF=∠B=60°，
∴CE⊥CF.延长DC至G使CG=CD，连接FG，
∴CE//FG.又∠G=30°，
∴$CF=\frac{1}{2}CG$，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}$.