《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例1】如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,以BC为直径的⊙O交AB于D,E为AC的中点,连接DE,求证:DE是⊙O的切线.

证明:连接 OD,OE,∵E为AC中点，O为BC中点，∴OE//AB，∴∠COE=∠B，∠DOE=∠ODB，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠COE=∠DOE，∵OC=OD，OE=OE，∴△ODE≌△OCE(SAS)，∴∠ODE=∠OCE=90°，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线.

答案： 证明:连接 OD,OE,
∴OE//AB,
∴△ODE≌△OCE,
∴OD⊥DE,
∴DE 是⊙O 的切线.

变式.如图,CE是⊙O的直径,BC切⊙O于点C,连接OB,作ED//OB交⊙O于点D,求证:BD是⊙O的切线.


证明:连接 OD,证△DOB≌△COB.

答案： 证明:连接 OD,证△DOB≌△COB.

【典例2】如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.求证:PD是⊙O的切线.

证明:连接 DB,DC,OD,易证∠DBC=∠DCB,∴DB=DC,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵∠DBC=∠CAD,∠DCB=∠BAD,∴∠DBC=∠DCB,∵DP//BC,∴∠PDB=∠DBC,∠PDC=∠DCB,∴∠PDB=∠PDC,∵DB=DC,PD=PD,∴△PDB≌△PDC(SAS),∴∠PBD=∠PCD,∵∠PBD+∠ABD=180°,∠ACD+∠PCD=180°,∠ABD=∠ACD,∴∠PBD=∠PCD,∵OD=OB,∴∠OBD=∠ODB,∵∠OBD+∠PBD=90°,∴∠ODB+∠PDB=90°,即∠ODP=90°,∴DP⊥OD,∴PD是⊙O的切线.

答案： 证明:连接 DB,DC,OD,易证∠DBC=∠DCB,
∴DB=DC,
∴DP⊥OD,
∴PD 是⊙O 的切线.

变式1.如图,已知AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,CD⊥AB于点D,点P为AB延长线上一点,连接BC,PC,且∠PCB= ∠DCB,求证:PC是⊙O的切线.
证明:连接 OC,∵∠DCB+∠CBD=90°,∵OC=OB，∴∠OCB=∠CBD，∵∠PCB=∠DCB，∴∠PCB+∠OCB=90°,∴PC⊥OC,∴PC 是⊙O 的切线.

答案： 证明:连接 OC,
∵∠DCB+∠CBD=90°,
∴∠PCB+∠OCB=90°,
∴PC⊥OC,
∴PC 是⊙O 的切线.

变式2.如图,⊙O的直径为AB,点C在⊙O上(异于A,B),AD⊥CD.若AC是∠DAB的平分线,求证:直线CD是⊙O的切线.

证明:连接 OC,证 OC//AD.

答案： 证明:连接 OC,证 OC//AD.