《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例】解方程：
(1)$x^{2}-2x= 0;$
解：$x(x-2)= 0,x_{1}=$0,$x_{2}=$2.
(2)$(x-2)^{2}-2x+4= 0.$
解：$(x-2)^{2}-2(x-2)= 0,(x-2)(x-4)= 0,$
$x-2= 0或x-4= 0,\therefore x_{1}=$2,$x_{2}=$4.
【方法】(1)$ax^{2}+bx= 0(a≠0)$
$x(ax+b)= 0$
$\therefore x_{1}=$0,$x_{2}=$$-\frac{b}{a}$.
(2)$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$
$a(x-x_{1})(x-x_{2})= 0$
$\therefore x=$$x_{1}$,$x=$$x_{2}$.

答案： 本题给出了解一元二次方程的方法及典例，通过相应方法可求解类似的一元二次方程。如对于方程$x^{2}-2x = 0$，解为$x_{1}=0$，$x_{2}=2$；对于方程$(x - 2)^{2}-2x + 4 = 0$，解为$x_{1}=2$，$x_{2}=4$。对于一般形式的方程$ax^{2}+bx = 0(a\neq0)$，解为$x_{1}=0$，$x_{2}=-\frac{b}{a}$；对于方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若能化为$a(x - x_{1})(x - x_{2})=0$的形式，解为$x = x_{1}$，$x = x_{2}$。

1.因式分解：
(1)$x^{2}-5x= $$x(x - 5)$； (2)$2x(x-3)-5(x-3)= $$(x - 3)(2x - 5)$；
(3)$x^{2}-16= $$(x - 4)(x + 4)$； (4)$(x+2)^{2}-3x-6= $$(x + 2)(x - 1)$.

答案：
(1)$x(x - 5)$；
(2)$(x - 3)(2x - 5)$；
(3)$(x - 4)(x + 4)$；
(4)$(x + 2)(x - 1)$。

2.(2024·宜昌)方程$3x(x-1)= 0$的解是(B)
A.$x_{1}= 3,x_{2}= 1$
B.$x_{1}= 0,x_{2}= 1$
C.$x_{1}= x_{2}= 1$
D.$x_{1}= 0,x_{2}= -2$

答案： B

3.方程$(x-2)^{2}= x-2$的解是$x_{1}=2$，$x_{2}=3$.

答案： $x_{1}=2$，$x_{2}=3$

4.(课本题变式)一元二次方程$x(x-2)= 2-x$的根是(D)
A.$x= -1$
B.$x= 2$
C.$x_{1}= 1和x_{2}= 2$
D.$x_{1}= -1和x_{2}= 2$

答案： D

5.用因式分解法解下列方程：
(1)$x^{2}+x= 0;$ $x_{1}=0$，$x_{2}=-1$(2)$x^{2}+9x= 0;$$x_{1}=0$，$x_{2}=-9$
(3)$x^{2}+9= 6x;$$x_{1}=x_{2}=3$(4)$(2+x)^{2}-9= 0;$$x_{1}=-5$，$x_{2}=1$
(5)$(x-1)^{2}= (2x-3)^{2};$$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{4}{3}$(6)$3x(x-2)= 2(2-x).$$x_{1}=-\frac{2}{3}$，$x_{2}=2$

答案：
(1)$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$
(2)$x_{1}=0$，$x_{2}=-9$
(3)$x_{1}=x_{2}=3$
(4)$x_{1}=-5$，$x_{2}=1$
(5)$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{4}{3}$
(6)$x_{1}=-\frac{2}{3}$，$x_{2}=2$

6.(教材P17T11改编)有一根20m长的绳子,围成一个面积为$24m^{2}$的矩形,则它的长与宽分别是6m和4m.

答案： 6m和4m