《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

12.关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0,a≠c)$,且$b= a+c$,则此方程根的情况是(C)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

答案： C

13.若关于x的一元二次方程$(m-2)x^{2}+2x+1= 0$有实数根,则m的取值范围是(D)
A.$m≤3$
B.$m＜3$
C.$m＜3且m≠2$
D.$m≤3且m≠2$

答案： D

14.(课本题变式)已知关于x的一元二次方程$kx^{2}-4kx+k-5= 0$有两个相等的实数根,求k的值.

答案： 解：$\Delta =(4k)^{2}-4k(k-5)=12k^{2}+20k=0$，
得$k_{1}=0$(舍去)，
$k_{2}=-\frac {5}{3}$.

15.(教材P17T13改编)(1)求证:无论p取何值,方程$(x-3)(x-2)= p^{2}$总有两个不相等的实数根.
证明：$x^{2}-5x+6-p^{2}=0$，$\Delta =(-5)^{2}-4(6-p^{2})=1+4p^{2}＞0$，∴方程$(x-3)(x-2)=p^{2}$总有两个不相等的实数根.
(2)不解方程,判断关于x的方程$x^{2}-(m-3)x+1-m= 0$的根的情况.
注意结合配方法确定判别式的正负情况.
解：$\Delta =[-(m-3)]^{2}-4(1-m)=m^{2}-6m+9-4+4m=m^{2}-2m+1+4=(m-1)^{2}+4＞0$，∴方程有两个不相等的实数根.
(3)(2025·重庆)若$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },a,b,c$为三角形的三边,判断关于x的方程$ax^{2}-\sqrt {2}cx+b= 0$的根的情况.
解：依题意知$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\Delta =2c^{2}-4ab=2(c^{2}-2ab)=2(a-b)^{2}≥0$，∴方程有实数根.

答案：
(1)证明：$x^{2}-5x+6-p^{2}=0$，
$\Delta =(-5)^{2}-4(6-p^{2})=1+4p^{2}＞0$，
∴方程$(x-3)(x-2)=p^{2}$总有两个不相等的实数根.
(2)解：$\Delta =[-(m-3)]^{2}-4(1-m)=m^{2}-6m+9-4+4m$
$=m^{2}-2m+1+4=(m-1)^{2}+4＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根.
(3)解：依题意知$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\Delta =2c^{2}-4ab=2(c^{2}-2ab)=$
$2(a-b)^{2}≥0$，
∴方程有实数根.