《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

10.已知二次函数图象的顶点坐标为$A(1,-4)$,且经过点$B(3,0)$.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)判断点$C(2,-3)$,$D(-1,1)$是否在该函数图象上？并说明理由.

答案： 解:
(1)设二次函数的解析式是
$y=a(x-h)^{2}+k,a≠0$,
∵二次函数图象的顶点坐标为
$A(1,-4),\therefore y=a(x-1)^{2}-4$,
∵经过点$B(3,0)$,
代入得:$0=a(3-1)^{2}-4$,解得$a=1$,
$\therefore y=(x-1)^{2}-4$;
(2)点$C(2,-3)$在该函数图象上,
点$D(-1,1)$不在该函数图象上.

11.如图,抛物线$y = x^{2}-3x + k与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于点C(0,-4)$.
(1)点$A$的坐标为(-1,0),点$B$的坐标为(4,0)；
(2)设抛物线$y = x^{2}-3x + k的顶点为M$,求四边形$ABMC$的面积.$\frac{35}{2}$

答案： 解:
(1)$(-1,0),(4,0)$;
(2)连接OM,
∵$y=x^{2}-3x-4=(x-\frac {3}{2})^{2}-\frac {25}{4}$,
∴$M(\frac {3}{2},-\frac {25}{4})$,
则$S_{四边形BACM}=S_{△AOC}+S_{△OCM}+S_{△BOM}=\frac {35}{2}$.

12.已知抛物线：$y = x^{2}+bx + c$.若抛物线过$(-1,m^{2}-m)$,$(2,m^{2}+2m)$,设抛物线的顶点纵坐标为$y_{1}$,则$y_{1}$的最小值为(C)
A.$-2$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$-\frac{7}{3}$
D.$-1$

答案： C
解:将$(-1,m^{2}-m),(2,m^{2}+2m)$代入
$y=x^{2}+bx+c$中,
得$b=m-1,c=m^{2}-2$,
$\therefore y=x^{2}+(m-1)x+m^{2}-2$,
$y_{1}=\frac {4(m^{2}-2)-(m-1)^{2}}{4}=\frac {3}{4}(m+\frac {1}{3})^{2}-\frac {7}{3}$.