《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例1】如图,点P为抛物线$y = x^2 - 2x - 3$上一点,且在第四象限,若$S_{\triangle PBC} = 3$,求P点坐标.

P点坐标为(1,-4)或(2,-3).

答案： 解:过 P 点作直线 $ PM // BC $，交 x 轴于 M 点，$ S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2} \times 3BM = 3 $，
$ \therefore BM = 2 $，$ \therefore M(5,0) $，
$ \therefore PM:y = x - 5 $，联立
$\left\{ \begin{array}{l} y = x - 5 \\ y = x^2 - 2x - 3 \end{array} \right. $
可解得 $ P_1(1,-4) $，$ P_2(2,-3) $。

变式1.如图,若点P在抛物线$y = x^2 - 2x - 3$上且在x轴上方,$S_{\triangle PBC} = 15$,求P点坐标.

解:过 P 点作 $ PM // y $ 轴交直线 BC 于 M，
则 $ \frac{1}{2}PM \cdot 3 = 15 $，
$ \therefore PM = $10，
设 $ P(m,m^2 - 2m - 3) $，$ M(m, $$m - 3$$) $，
$ m^2 - 2m - 3 - (m - 3) = 10 $，解得$ m_1 = $$-2$，$ m_2 = $5，
$ \therefore P_1 $$(-2,5)$，$ P_2 $$(5,12)$。

答案： 解:过 P 点作 $ PM // y $ 轴交直线 BC 于 M，
则 $ \frac{1}{2}PM \cdot 3 = 15 $，
$ \therefore PM = 10 $，
设 $ P(m,m^2 - 2m - 3) $，$ M(m,m - 3) $，
$ m^2 - 2m - 3 - (m - 3) = 10 $，$ m_1 = -2 $，$ m_2 = 5 $，
$ \therefore P_1(-2,5) $，$ P_2(5,12) $。

变式2.如图,点P为抛物线$y = x^2 - 2x - 3$上一点,且在第四象限,求$\triangle PBC$面积的最大值.

解:过 P 点作直线 $ PM // y $ 轴交 BC 于 M 点，设 $ P(m,m^2 - 2m - 3) $，$ M(m,m - 3) $，
$ S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} × 3PM = \frac{3}{2}[m - 3 - (m^2 - 2m - 3)] = -\frac{3}{2}(m^2 - 3m) $，
$ \therefore $ 当 $ m = $$\frac{3}{2}$时，$ S_{\triangle PBC} $ 的最大值为$\frac{27}{8}$。

答案： 解:过 P 点作直线 $ PM // y $ 轴交 BC 于 M 点，设 $ P(m,m^2 - 2m - 3) $，$ M(m,m - 3) $，
$ S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} \times 3PM = \frac{3}{2}[m - 3 - (m^2 - 2m - 3)] = -\frac{3}{2}(m^2 - 3m) $，
$ \therefore $ 当 $ m = \frac{3}{2} $ 时，$ S_{\triangle PBC} $ 的最大值为 $ \frac{27}{8} $。

【典例2】已知点P为抛物线$y = x^2 - 2x - 3$上一点,且在第四象限,求点P到BC的最大距离为$\frac{9\sqrt{2}}{8}$.

答案： 解:过 P 点作 $ PM \perp x $ 轴交 BC 于 M 点，过 P 作 $ PH \perp BC $ 于 H，设 $ P(m,m^2 - 2m - 3) $，
$ M(m,m - 3) $，$ PH = \frac{\sqrt{2}}{2}PM = -\frac{\sqrt{2}}{2}(m^2 - 3m) $，
$ \therefore $ 当 $ m = \frac{3}{2} $ 时，PH 长的最大值为 $ \frac{9\sqrt{2}}{8} $。

变式.如图,点E在二次函数$y = x^2 - 2x - 3$第四象限的图象上,EF$//$x轴交线段BC于F点,且$EF = \frac{5}{4}$,求E点坐标.

E点坐标为$(\frac{5}{2},-\frac{7}{4})$.

答案： 解:设 $ E(m,m^2 - 2m - 3) $，过 E 点作 $ EM // y $ 轴交 BC 于 M，
$ \therefore EM = \frac{5}{4} $，$ \therefore -m^2 + 3m = \frac{5}{4} $，
$ \therefore m = \frac{5}{2} $（$ m = \frac{1}{2} $ 已舍），$ \therefore E(\frac{5}{2},-\frac{7}{4}) $。