《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

9. 二次函数$y = 2(x - 3)^2$,当$x$＜3时,$y随x$的增大而减小；当$x$＞3时,$y随x$的增大而增大。

答案： $＜3$　$＞3$

10. 若$A(-1,y_1)$,$B(3,y_2)是抛物线y = -a(x + 2)^2(a ＞ 0)$上两点,则$y_1$,$y_2$的大小关系为(A)
A. $y_1 ＞ y_2$
B. $y_1 ＜ y_2$
C. $y_1 \geq y_2$
D. $y_1 \leq y_2$

答案： A

11. 抛物线$y = (x - m)^2$,当$x ＞ 2$时,$y随x$增大而增大,则$m$的取值范围为(D)
A. $m \geq 2$
B. $m ＞ 2$
C. $m ＜ 1$
D. $m \leq 2$

答案： D

12. 根据图象信息写出抛物线的解析式。

$y=-\frac{1}{3}(x+2)^{2}$$y=3(x-1)^{2}$

答案： $y=-\frac{1}{3}(x+2)^{2}$　$y=3(x-1)^{2}$

13. 如图,抛物线$y = a(x - 1)^2的顶点为A$,与$y轴正半轴交于B$点,且$OB = OA$。
(1)求抛物线的解析式；
解：抛物线的解析式为$y=(x-1)^{2}$
(2)点$P$在对称轴右侧的抛物线上,且$S_{\triangle ABP} = 3$,求$P$点坐标。
解：$P$点坐标为$(3,4)$
* 注意坐标与线段互换
* 注意分割图形
* 平行转换也很好

答案： 解:
(1)$A(1,0)$，$B(0,1)$，将$B(0,1)$代入$y=a(x-1)^{2}$得$a =1$，
$\therefore y=(x-1)^{2}$；
(2)设$P(m,m^{2}-2m+1)$，连接$OP$，
$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle OAP}+S_{\triangle OBP}-S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}m+\frac{m^{2}-2m+1}{2}-\frac{1}{2}=3$，
$\therefore m_{1}=-2$，$m_{2}=3$。
又$\because m＞1$，$\therefore m=3$，$P(3,4)$。

14. 抛物线$y = ax^2$向右平移3个单位后经过点$(-1,4)$。
(1)求平移后的抛物线的解析式,并在图中画出平移后的函数图象；
(2)若(1)中抛物线与$y轴交于B$点,在对称轴上是否存在点$P$,使$PB + PO$的值最小？并求$P$点坐标；
(3)若(1)中的抛物线的顶点为$A$,点$C$在抛物线上,$AC与x轴的夹角为45^{\circ}$,直接写出$C$点坐标。

答案：
解:
(1)$y=\frac{1}{4}(x-3)^{2}$，如图；

(2)$O$点关于直线$x=3$的对称点为$E(6,0)$，$BE$的解析式为$y=-\frac{3}{8}x+\frac{9}{4}$，
直线$BE$与对称轴的交点即为$P$，如图所示，
$\therefore P(3,\frac{9}{8})$；
(3)设$C(m,\frac{1}{4}(m-3)^{2})$，
$\therefore \frac{1}{4}(m-3)^{2}=|m-3|$，
$m-3＞0$，$m=7$；$m-3＜0$，$m=-1$。
$\therefore C(7,4)$或$(-1,4)$。