《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例】某一抛物线形隧道,一侧建有垂直于地面的隔离墙,其横截面如图所示,并建立平面直角坐标系.已知抛物线经过$(0,3),(1,\frac {14}{3}),(7,\frac {2}{3})$三点.
(1)求抛物线的解析式(不考虑自变量的取值范围);
解：依题意，设抛物线的解析式为 $ y = ax^{2} + bx + 3(a \neq 0) $，
将 $ (1,\frac{14}{3}) $， $ (7,\frac{2}{3}) $ 分别代入得 $ \begin{cases} a + b + 3 = \frac{14}{3}, \\ 49a + 7b + 3 = \frac{2}{3}, \end{cases} $ 解得
$ \begin{cases} a = -\frac{1}{3}, \\ b = 2. \end{cases} $
∴ 该抛物线的解析式为 $ y = $$ -\frac{1}{3}x^{2} + 2x + 3 $；
(2)有一辆高5m,顶部宽4m的工程车要通过该隧道,该车能否正常通过? 并说明理由;
解：工程车不能正常通过，理由如下：
∵ 抛物线的对称轴为直线 $ x = 3 $，工程车的顶宽为 $ 4m $，
当 $ x = 1 $ 时， $ y = -\frac{1}{3} × 1^{2} + 2 × 1 + 3 = \frac{14}{3} $，
∵ 工程车的高度为 $ 5m $， $ 5 ＞ \frac{14}{3} $，
∴ 工程车不能安全通过。
另解：令 $ y = 5 $，
则 $ 5 = -\frac{1}{3}x^{2} + 2x + 3 $，
整理得 $ \frac{1}{3}x^{2} - 2x + 2 = 0 $，
解得 $ x_{1} = 3 - \sqrt{3} $， $ x_{2} = 3 + \sqrt{3} $，
∴ $ x_{2} - x_{1} = 2\sqrt{3} ＜ 4 $，∴ 工程车不能正常通过。
(3)现准备在隧道上A处安装一个直角形钢架BAC,对隧道进行维修.B,C两点分别在隔离墙和地面上,且AB与隔离墙垂直,AC与地面垂直,求钢架BAC的最大长度.
解：设点 $ A(t,-\frac{1}{3}t^{2} + 2t + 3) $，在 $ y = -\frac{1}{3}x^{2} + 2x + 3 $ 中，令 $ y = 3 $，得 $ x_{1} = 0 $， $ x_{2} = 6 $。
∵ 点 $ B $ 在隔离墙上，∴ $ t \geq 6 $。
设 $ AB + AC = l $，则 $ l = -\frac{1}{3}t^{2} + 2t + 3 + t = -\frac{1}{3}t^{2} + 3t + 3 = -\frac{1}{3}(t - \frac{9}{2})^{2} + \frac{39}{4} $。
∵ $ l $ 关于 $ t $ 的函数图象开口向下，当 $ t \geq \frac{9}{2} $ 时，函数值 $ l $ 随 $ t $ 的增大而减小，
∴ 当 $ t = 6 $ 时， $ l $ 有最大值，此时 $ l = $9，
∴ 钢架 $ BAC $ 的最大长度为9m。

答案： 解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 $ y = ax^{2} + bx + 3(a \neq 0) $，
将 $ (1,\frac{14}{3}) $， $ (7,\frac{2}{3}) $ 分别代入得 $ \begin{cases} a + b + 3 = \frac{14}{3}, \\ 49a + 7b + 3 = \frac{2}{3}, \end{cases} $ 解得
$ \begin{cases} a = -\frac{1}{3}, \\ b = 2. \end{cases} $
∴ 该抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{3}x^{2} + 2x + 3 $；
（2）工程车不能正常通过，理由如下：
∵ 抛物线的对称轴为直线 $ x = 3 $，工程车的顶宽为 $ 4m $，
当 $ x = 1 $ 时， $ y = -\frac{1}{3} \times 1^{2} + 2 \times 1 + 3 = \frac{14}{3} $，
∵ 工程车的高度为 $ 5m $， $ 5 ＞ \frac{14}{3} $，
∴ 工程车不能安全通过。
另解：令 $ y = 5 $，
则 $ 5 = -\frac{1}{3}x^{2} + 2x + 3 $，
整理得 $ \frac{1}{3}x^{2} - 2x + 2 = 0 $，
解得 $ x_{1} = 3 - \sqrt{3} $， $ x_{2} = 3 + \sqrt{3} $，
∴ $ x_{2} - x_{1} = 2\sqrt{3} ＜ 4 $，
∴ 工程车不能正常通过。
（3）设点 $ A(t,-\frac{1}{3}t^{2} + 2t + 3) $，在 $ y = -\frac{1}{3}x^{2} + 2x + 3 $ 中，令 $ y = 3 $，得 $ x_{1} = 0 $， $ x_{2} = 6 $。
∵ 点 $ B $ 在隔离墙上，
∴ $ t \geq 6 $。
设 $ AB + AC = l $，则 $ l = -\frac{1}{3}t^{2} + 2t + 3 + t = -\frac{1}{3}t^{2} + 3t + 3 = -\frac{1}{3}(t - \frac{9}{2})^{2} + \frac{39}{4} $。
∵ $ l $ 关于 $ t $ 的函数图象开口向下，当 $ t \geq \frac{9}{2} $ 时，函数值 $ l $ 随 $ t $ 的增大而减小，
∴ 当 $ t = 6 $ 时， $ l $ 有最大值，此时 $ l = 9 $，
∴ 钢架 $ BAC $ 的最大长度为 $ 9m $。

变式.(2021·广西)如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为x轴,过跳台终点A作水平线的垂线作为y轴,建立平面直角坐标系,图中的抛物线$C_{1}:y= -\frac {1}{12}x^{2}+\frac {7}{6}x+1$近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从O点正上方4米处的A点滑出,滑出后沿一段抛物线$C_{2}:y= -\frac {1}{8}x^{2}+bx+c$运动.
(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时,离水平线的高度为8米,求抛物线$C_{2}$的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围);
答：抛物线$C_{2}$的函数解析式为$y = -\frac{1}{8}x^{2} + \frac{3}{2}x + 4$
(2)在(1)的条件下,当运动员运动的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米?
答：在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米
(3)当运动员运动到坡顶正上方,且与坡顶距离超过3米时,求b的取值范围.
答：b的取值范围为$b ＞ \frac{35}{24}$

答案： 解：（1） $ y = -\frac{1}{8}x^{2} + \frac{3}{2}x + 4 $；
（2） $ -\frac{1}{8}x^{2} + \frac{3}{2}x + 4 - (-\frac{1}{12}x^{2} + \frac{7}{6}x + 1) = 1 $，
$ x_{1} = 12 $， $ x_{2} = -4 $（舍），
∴ 在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为 $ 12m $ 时，运动员与小山坡的竖直距离为 $ 1m $；
（3） $ (-\frac{1}{8}x^{2} + bx + 4) - (-\frac{1}{12}x^{2} + \frac{7}{6}x + 1) = -\frac{1}{24}x^{2} + (b - \frac{7}{6})x + 3 $，
∵ $ x = 7 $ 时，运动员在坡顶正上方，
∴ $ -\frac{1}{24} \times 7^{2} + (b - \frac{7}{6}) \times 7 + 3 ＞ 3 $， $ b ＞ \frac{35}{24} $。