《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例1】抛物线$y= ax^{2}+bx+3经过点A(-3,0),B(-1,0)$,求抛物线的解析式。

答案： 解：$y = x^{2} + 4x + 3$。

变式.(2024·江岸)根据下表可判断二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的解析式为(B)

A.$y= x^{2}+3x+5$
B.$y= x^{2}+3x-5$
C.$y= -x^{2}+3x-5$
D.$y= -x^{2}-3x-5$

答案： B

【典例2】抛物线经过点$(1,0),(-1,0),(2,6)$,求抛物线的解析式。

答案： 解：所求抛物线的解析式为$y = 2x^{2} - 2$。

变式.依图象,求抛物线的解析式。
(1)$y = x^{2} + 4x + 3$
(2)$y = -\frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x + 3$
(3)$y = x^{2} - 4x$

答案： 解：
(1)$y = x^{2} + 4x + 3$。
(2)$y = -\frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x + 3$。
(3)$y = x^{2} - 4x$。

题型三【典例3】
知顶点,对称轴求抛物线解析式

(1)解：设抛物线解析式为$y = a(x - 1)^{2} - 2$，∵抛物线过点$(0,0)$，∴$a = 2$，∴抛物线解析式为$y = 2(x - 1)^{2} - 2$。
(2)解：设抛物线解析式为$y = a(x - 1)^{2}$，∵抛物线过点$(0,2)$，∴$a = 2$，∴抛物线解析式为$y = 2(x - 1)^{2}$。
(3)解：设抛物线解析式为$y = a(x - 2)^{2} + 4$，∵抛物线过点$(-1,0)$，∴$9a + 4 = 0$，解得$a = -\frac{4}{9}$，∴抛物线解析式为$y = -\frac{4}{9}(x - 2)^{2} + 4$。

答案： 解：
(1)$y = a(x - 1)^{2} - 2$过$(0,0)$，$\therefore a = 2$，$\therefore y = 2(x - 1)^{2} - 2$。
(2)$y = a(x - 1)^{2}$过$(0,2)$，$a = 2$，$\therefore y = 2(x - 1)^{2}$。
(3)$y = a(x - 2)^{2} + 4$过$(-1,0)$，$9a + 4 = 0$，$a = -\frac{4}{9}$，$\therefore y = -\frac{4}{9}(x - 2)^{2} + 4$。