《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

模型.如图,$\triangle ABC$为正三角形,$∠ADC= 30^{\circ },AD= 3,BD= 5$,求 CD 的长.

答案：
解:作正$\triangle CDE$,连接$AE$,则$\triangle BCD\cong \triangle ACE$
　　　　　　　　　　
$AE=BD=5$,$\angle ADE=\angle ADC+\angle CDE=90^{\circ}$,则
$CD=DE=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$.
说明:此题有$BD^{2}=AD^{2}+CD^{2}$这个一般性结论,像这样的四边形俗称勾股四边形.

运用.如图,在等腰$\triangle ABC$中,$AB= AC,∠BAC= 120^{\circ }$,点 P 在$\triangle ABC$的外部,且满足$∠APC+∠BPC= 90^{\circ }$,求证:$BP= \sqrt {3}AP.$

答案：
证明:将$AP$绕点$A$顺时针旋转$120^{\circ}$至$AQ$,连接$PQ$,$BQ$,
　　　　　　　　　　　
$\therefore \triangle APQ$是顶角为$120^{\circ}$的等腰三角形,易得$\sqrt{3}AP=PQ$.
证明$\triangle ABQ\cong \triangle ACP$,
$\therefore \angle AQB=\angle APC$,
设$\angle APC=\alpha$,
$\therefore \angle BPA=90^{\circ}-2\alpha$,
$\therefore \angle BPQ=\angle BPA+\angle APQ=90^{\circ}-2\alpha +30^{\circ}=120^{\circ}-2\alpha$,又$\angle PQB=30^{\circ}+\alpha$,
$\therefore \angle PBQ=180^{\circ}-(120^{\circ}-2\alpha )-(30^{\circ}+\alpha )=30^{\circ}+\alpha$,
$\therefore PB=PQ=\sqrt{3}AP$.

模型.如图,$\triangle ACB$为等腰直角三角形,$∠ACB= 90^{\circ },CP= 2,PB= 1,∠CPB= 135^{\circ }$,求 AP的长.

答案：
解:作$CE\perp CP$且$CE=CP$,连接$PE$,$BE$,
　　　　　　　　　　
则$\triangle CBE\cong \triangle APC$,
$PE^{2}=8$,$PB^{2}=1$,
学参考答案 - 18
$\therefore BE=PA=3$.

变式 1.(1)如图 1,点 P 是正方形 ABCD 内一点,$PA= 1,PB= 2,PC= 3$,将$\triangle BPC$绕点 B 逆时针旋转$90^{\circ }得\triangle BP'A$,连接$PP'$,求$∠APB$的度数;
(2)如图 2,若点 P 是正方形外一点,$PA= 3,PB= 1,PC= \sqrt {11}$,求$∠APB$的度数.


(3)思考:若 P 为正方形 ABCD 外一点,$PA= 3,PB= 1,∠APB= 45^{\circ }$,则 PC 的长为.

答案：
解:
(1)$\triangle ABP'\cong \triangle CBP$,
$\therefore PP'^{2}=8$,
$\therefore \angle APP'=90^{\circ}$,$\angle APB=135^{\circ}$.
(2)将$\triangle BPC$绕点$B$逆时针旋转$90^{\circ}$得$\triangle BP'A$,连接$PP'$,$\triangle ABP'\cong \triangle CBP$,
　　　　　　　　　　
$\therefore PP'=\sqrt{2}$,$AP'=PC=\sqrt{11}$,
在$\triangle APP'$中,$AP^{2}+PP'^{2}=AP'^{2}$,
$\therefore \angle APP'=90^{\circ}$,
$\therefore \angle APB=45^{\circ}$.
(3)$\sqrt{11}$或$3 - \sqrt{2}$

变式 2.(2023·元调)如图,D 是$\triangle ABC$内一点,$∠BDC= 90^{\circ },BD= CD,AB= 20,AC= 21,$

$AD= \frac {13\sqrt {2}}{2}$,求 BC 的长.

答案：
解:过$D$作$DM\perp AD$,且$DM=AD$,
连接$BM$,$AM$,证$\triangle ACD\cong \triangle MBD$,$BM$与$AC$相交于$H$点,易证$BM\perp AC$,
　　　　　　　　　　
设$BH=x$,则$20^{2}-x^{2}=13^{2}-(21 - x)^{2}$,$x=16$,
$\therefore AH=12$,$CH=9$,
$\therefore BC=\sqrt{337}$