《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例 1】(教材 P122T1 变式)如图,已知在$\odot O$中,弦$AB⊥弦CD于E$,若$∠AOD= 140^{\circ }$,求$∠BOC$的度数.

答案： 解：
1. 首先，根据圆周角定理：
同弧所对的圆周角是圆心角的一半。设$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角为$\angle ACD$，$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角为$\angle AOD$，则$\angle ACD=\frac{1}{2}\angle AOD$。
已知$\angle AOD = 140^{\circ}$，所以$\angle ACD=\frac{1}{2}×140^{\circ}=70^{\circ}$。
2. 然后，因为$AB\perp CD$：
在$Rt\triangle CEB$中，$\angle CEB = 90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle CEB$中，$\angle ABC+\angle ACD+\angle CEB = 180^{\circ}$，则$\angle ABC=180^{\circ}-\angle CEB-\angle ACD$。
把$\angle CEB = 90^{\circ}$，$\angle ACD = 70^{\circ}$代入可得$\angle ABC=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
3. 最后，再根据圆周角定理：
设$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为$\angle BAC$（这里$\angle ABC$也是$\overset{\frown}{AC}$所对圆周角的一部分，我们利用$\angle ABC$与$\angle BOC$的关系），$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角为$\angle BOC$，则$\angle BOC = 2\angle BAC$（同弧所对圆心角是圆周角的$2$倍）。
因为$\angle BAC$与$\angle ABC$和$\angle ACD$有关系，我们还可以利用另一种方法：
因为$\angle AOD+\angle BOC=( \overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC})$所对圆心角之和，$\angle ACD$是$\overset{\frown}{AD}$所对圆周角，$\angle BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对圆周角，且$\angle CEB = 90^{\circ}$，$\angle CEB=\angle BAC+\angle ACD$（外角性质：$\angle CEB$是$\triangle AEC$的外角，$\angle CEB=\angle BAC+\angle ACD$）。
又因为$\angle AOD = 2\angle ACD$，$\angle BOC = 2\angle BAC$，所以$\angle AOD+\angle BOC=2(\angle BAC + \angle ACD)$。
由于$\angle BAC+\angle ACD=\angle CEB = 90^{\circ}$，$\angle AOD = 140^{\circ}$，则$140^{\circ}+\angle BOC=2×90^{\circ}$。
移项可得$\angle BOC=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$。
所以$\angle BOC$的度数为$40^{\circ}$。

变式 1.如图,已知在$\odot O$中,弦$AB⊥弦CD于E$,若点$M为AC$的中点,求证:$ME⊥BD$.

答案： 解：
因为$AB\perp CD$，所以$\triangle AEC$是直角三角形。
又因为点$M$为$AC$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$AM = CM = EM$。
所以$\angle MAE=\angle MEA$。
因为$\angle MAE$与$\angle D$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，根据同弧所对的圆周角相等，所以$\angle MAE=\angle D$。
又因为$\angle MEA=\angle BED$（对顶角相等），所以$\angle D=\angle BED$。
在$\triangle BED$中，$\angle B + \angle D=90^{\circ}$（因为$AB\perp CD$，$\angle BED = 90^{\circ}$，三角形内角和为$180^{\circ}$），把$\angle D=\angle BED$代入可得$\angle B+\angle BED = 90^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle BME=180^{\circ}-(\angle B + \angle BED)=90^{\circ}$，所以$ME\perp BD$。

变式 2.如图,已知在$\odot O$中,弦$AB⊥弦CD于E$,若$AE= DE$,求证:$AB= CD$.

答案： 解：连接$AD$，$BC$。
因为$AB\perp CD$，$AE = DE$，所以$\angle AED = 90^{\circ}$，$\angle DAE=\angle ADE = 45^{\circ}$。
根据同弧所对的圆周角相等，可得$\angle DAE=\angle BCE$，$\angle ADE=\angle CBE$，所以$\angle BCE=\angle CBE = 45^{\circ}$。
在$\triangle AED$和$\triangle BEC$中，$\angle AED=\angle BEC = 90^{\circ}$，$\angle DAE=\angle BCE$，$AE = DE$。
根据$ASA$（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle AED\cong\triangle BEC$，所以$CE = BE$。
因为$AB = AE + BE$，$CD=CE + DE$，又$AE = DE$，$CE = BE$，所以$AB = CD$。

【典例 2】如图,在$\odot O$中,弦$BC⊥DF于E$点,且$BC= DF$,连接$BO并延长交\odot O于点A$,连接$AC$,若$AC= 2,CE= 4$,求$\odot O$的半径

答案： 1. 首先，连接$OC$：
因为$BC\perp DF$，$BC = DF$，根据垂径定理，$BE=CE=\frac{1}{2}BC$，$DE = EF=\frac{1}{2}DF$，所以$BE = CE = 4$，则$BC=8$。
又因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
2. 然后，在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = AC$，$b = BC$，$c = AB$）：
已知$AC = 2$，$BC = 8$，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，即$AB=\sqrt{2^{2}+8^{2}}=\sqrt{4 + 64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$。
3. 最后，求$\odot O$的半径$r$：
因为$AB$是$\odot O$的直径，设$\odot O$半径为$r$，则$AB = 2r$。
所以$r=\frac{AB}{2}$，把$AB = 2\sqrt{17}$代入得$r=\sqrt{17}$。
另一种方法（用相似三角形）：
1. 连接$OC$：
设$\odot O$半径为$r$，则$OB = OC=r$，$OE=BE - OB=4 - r$。
因为$AB$是直径，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC\perp DF$，$\angle OEB=\angle ACB = 90^{\circ}$。
又因为$\angle B=\angle B$，所以$\triangle BOE\sim\triangle BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 根据相似三角形的性质$\frac{BO}{BA}=\frac{BE}{BC}$：
已知$AC = 2$，$BE = 4$，$BC = 8$，$BA = 2r$，$BO=r$。
由$\triangle BOE\sim\triangle BAC$可得$\frac{r}{2r}=\frac{4}{8}$（此方法有误，重新用$OC$相关计算）。
因为$AB$是直径，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$OA = OB$，$OE// AC$（$\angle OEB=\angle ACB = 90^{\circ}$），则$OE=\frac{1}{2}AC = 1$（三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，这里$O$是$AB$中点，过$O$作$OE// AC$，$E$在$BC$上）。
在$Rt\triangle OEC$中，根据勾股定理$OC^{2}=OE^{2}+CE^{2}$。
已知$OE = 1$，$CE = 4$，设$OC=r$，则$r^{2}=1^{2}+4^{2}$（错误，重新来）。
因为$AB$是直径，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$OA=OC$，$\angle A=\angle OCA$，$\angle BOE=\angle A$（同弧所对的圆周角与圆心角关系：$\angle BOE = 2\angle A$错误，用勾股定理）。
因为$AB$是直径，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$OB = OC$，$BE = 4$，$AC = 2$。
由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4 + 64}=2\sqrt{17}$，半径$r=\frac{AB}{2}=\sqrt{17}$。
所以$\odot O$的半径为$\sqrt{17}$。

变式 1.如图,弦$AB⊥弦CD于点E$,连接$AC,BD$,若$ON⊥BD于N$,求证:$ON= \frac {1}{2}AC$.

证明:作直径 BF,连接 DF,AF,证$ ON = \frac { 1 } { 2 } DF, \overgroup { A D } = \overgroup { C F }, D F = A C. $

答案： 解：连接$DO$并延长交$\odot O$于点$M$，连接$BM$、$AM$。
因为$DM$是$\odot O$的直径，所以$\angle DBM = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$ON\perp BD$，根据垂径定理可知$N$是$BD$中点。
在$\triangle DBM$中，$O$是$DM$中点，$N$是$BD$中点，所以$ON$是$\triangle DBM$的中位线，根据中位线定理可得$ON=\frac{1}{2}BM$。
因为$AB\perp CD$，$\angle DAM = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），所以$AM// CD$（垂直于同一条直线的两条直线平行）。
则$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BM}$（夹在两平行弦之间的弧相等），所以$AC = BM$（同圆或等圆中，等弧所对的弦相等）。
因此$ON=\frac{1}{2}AC$。

变式 2.如图,弦$AB⊥弦CD于点E$,若$AC= 8,BD= 6$,求$\odot O$的直径为10.

答案： 1. 首先，作直径$BC$，连接$AD$：
因为$BC$是直径，所以$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle BDC = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$AB\perp CD$，根据同弧所对的圆周角相等，$\angle BAC=\angle BEC = 90^{\circ}$，$\angle BDC=\angle BEC = 90^{\circ}$，所以$AD// BC$（内错角相等，两直线平行）。
再根据平行线间的弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，那么$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
所以$AD = BD = 6$（等弧所对的弦相等）。
2. 然后，在$Rt\triangle BAC$中，根据勾股定理：
已知$AC = 8$，$AD = 6$，在$Rt\triangle BAC$中，由勾股定理$BC=\sqrt{AC^{2}+AD^{2}}$（因为$AD = BD$，这里利用了前面的等量代换）。
把$AC = 8$，$AD = 6$代入公式$BC=\sqrt{8^{2}+6^{2}}$。
先计算$8^{2}+6^{2}=64 + 36=100$，则$BC=\sqrt{100}=10$。
所以$\odot O$的直径为$10$。