《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例1】已知抛物线y= $ax^2$-4ax+m与x轴的一个交点为(-1,0),则另一个交点坐标为(5,0).

答案： $(5,0)$
解:对称轴为$x=2$,由对称性知$x_{2}=5$.

变式.抛物线y= $ax^2$+bx+c经过点A(-5,3),且对称轴是直线x= -2,则a+b+c=3

答案： 3
解:
∵对称轴$x=-2$,
$\therefore \frac{-5+x}{2}=-2,\therefore x=1$.
$\therefore$当$x=1$时,$y=a+b+c=3$.

【典例2】已知二次函数y= $ax^2$+bx+c的y与x的部分对应值如下表：

x -1 0 1 3
y -3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x= 1；③当x＜1时,函数值y随x的增大而增大；④方程$ax^2$+bx+c= 0有一个根大于4.其中正确的结论有(B)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： B
解:①画图知$a＜0$ 对;
②对称轴$x=\frac{3}{2}$ 错;
③对;
④由对称性知$x=-1$与$x=4$对称,
当$x=4$时,$y=-3$,
故与$x$轴交点$x＜4$ 错.

变式.(2024·南通)已知二次函数y= $ax^2$+bx-3中,x与y满足下表.

x … -1 0 1 2 3
y … $y_1$ -3 $y_2$ -3 $y_3$
若$y_1$,$y_2$,$y_3$中有且仅有两个是负数,求a的取值范围.a≤-3

答案： 解:易知对称轴为$x=1$,
$\therefore y=ax^{2}-2ax-3$,
$y_{1}=y_{3}=a+2a-3=3a-3$,
$y_{2}=-a-3,\therefore 3a-3＜0,-a-3≥0$,
$\therefore a≤-3$.