《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例】如图,AB为⊙O的直径,DE⊥AB于E点,$\overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{AD}$,BC= 3,DE= 2,求⊙O的半径。

解:连接 $ OD $，作 $ OM \perp BC $ 于 $ M $，
$ \triangle ODE \cong \triangle BOM $，
$ \therefore OE = $$\frac{3}{2}$，$ \therefore DO = \sqrt{DE^2 + OE^2} = $$\frac{5}{2}$，即 $ \odot O $ 的半径为$\frac{5}{2}$。

答案： 解:连接 $ OD $，作 $ OM \perp BC $ 于 $ M $，
$ \triangle ODE \cong \triangle BOM $，
$ \therefore OE = \frac{3}{2} $，$ \therefore DO = \sqrt{DE^2 + OE^2} = \frac{5}{2} $，即 $ \odot O $ 的
半径为 $ \frac{5}{2} $。

变式1.AB为⊙O的直径,P为$\overset{\frown}{AB}$的中点,PE⊥弦AC于E点。
(1)如图1,若AB= 10,AC= 8,求PE的长；
(2)如图2,若BC= CE= 1,求AB的长。
(1)PE的长为1；
(2)AB的长为$\sqrt{10}$。

答案： 解:
(1)连接 $ PO $，$ PC $，$ AP $，则 $ \angle AOP = 90^\circ $，$ \angle PCE = 45^\circ $，
$ \because AE^2 + PE^2 = AP^2 $，$ \therefore \therefore PE = CE = 1 $。
(2)连接 $ AP $，$ PO $，$ PC $，设 $ AE = x $，
$ \therefore AP^2 = 1^2 + x^2 $。
又 $ \because AB^2 = 1^2 + (x + 1)^2 = 2(1 + x^2) $，
$ x_1 = 0 $（舍），$ x_2 = 2 $，$ \therefore AB = \sqrt{10} $。

变式2.如图,AB为半圆的直径,C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,点D在半圆上,BD= 6,AB= 10,求CD的长。

解:连接 $ AD $，$ OC $，则 $ \angle CDA = \frac{1}{2} \angle COA = 45^\circ $，
作 $ AM \perp CD $ 交 $ DC $ 的延长线于 $ M $，
$ AC = 5\sqrt{2} $，$ AM = 4\sqrt{2} $，$ MC = 3\sqrt{2} $，
$ \therefore CD = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = $$\sqrt{2}$。

答案： 解:连接 $ AD $，$ OC $，则 $ \angle CDA = \frac{1}{2} \angle COA = 45^\circ $，
作 $ AM \perp CD $ 交 $ DC $ 的延长线于 $ M $，
$ AC = 5\sqrt{2} $，$ AM = 4\sqrt{2} $，$ MC = 3\sqrt{2} $，
$ \therefore CD = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2} $。

变式3.如图,已知AB是⊙O的直径,C是$\overset{\frown}{BD}$的中点,CE⊥AB于E,BD交CE于点F。若CD= 5,CE= 4,求CF的长。

CF的长为$\frac{25}{8}$。

答案： 解:连接 $ BC $，$ BC = CD = 5 $，$ CE = 4 $，延长 $ CE $ 交 $ \odot O $ 于点 $ G $，易证 $ \overset{\frown}{BG} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{DC} $，
设 $ CF = x = BF $，$ x^2 = 3^2 + (4 - x)^2 $，$ x = \frac{25}{8} $，
$ \therefore CF = \frac{25}{8} $。