《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【例】某商场购进一批商品,商品的进价为每件 40 元,售价为每件 60 元时,每天可卖出 100 件;如果每件商品的价格每上涨 1 元,则每天少卖 2 件,设每件商品涨价 x 元,每天获利 y 元.
(1)涨价后,每件盈利 $(20+x)$ 元,每天可销售 $(100-2x)$ 件;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每天获利 2250 元?
(3)当售价定为多少元时,每天获利最大? 并求出最大利润.

答案： 解:
(2)$y= (20+x)(100-2x)= -2(x-15)^{2}+2450,-2(x-15)^{2}+2450= 2250,x_{1}= 5,x_{2}= 25$,故售价为 65 元或 85 元;

(3)当 $x= 15$ 时,$y_{max}= 2450$.

探究 1:若(3)中添加条件“若为了促销吸引客户,规定售价最高不能超过 70 元”,那么当售价为多少元时,每天获利最大?

答案： 探究 1.解：$y=-2(x-15)^{2}+2450$，
又$60+x≤70$，
$\therefore x≤10$，
当$x=10,y_{max}=2400$，
此时售价为 70 元.

探究 2:要使每天的利润不低于 2400 元,求售价的取值范围.

答案： 探究 2.解：当$y=2400$时，$-2(x-15)^{2}+2450=2400$，
$x_{1}=10,x_{2}=20$，
$\therefore$售价范围为不小于 70 元不大于 80 元.

探究 3:由于某种原因,该商品的进价提高了 m 元/件,且物价部门规定该商品售价不得超过 65 元/件,若每天获得的最大利润是 1800 元,求 m 的值.

答案： 探究 3.解：$y=(20+x-m)(100-2x)=-2x^{2}+(2m+60)x+(2000-100m)$，
对称轴为直线$x=\frac {m}{2}+15＞5$，又$x≤5$，
$\therefore y$随$x$增大而增大，
故当$x=5$时，$y_{max}=1800$，
$\therefore (25-m)(100-10)=1800,m=5$.

探究 4:由于疫情影响,该商品成本提高了 a 元/件,销售发现:当售价不高于 77 元/件时,销售利润随 x 的增大而增大,求 a 的最小值.

答案： 探究 4.解：$y=(20+x-a)(100-2x)=-2x^{2}+(2a+60)x+(2000-100a)$，对称轴为直线$x=\frac {a}{2}+15$，
$\because x≤17$，$y$随$x$增大而增大，
$\therefore \frac {a}{2}+15≥17$，
$a≥4$，故$a$的最小值为 4.

探究 5:物价局规定,商品售价不能超过 a 元/件,求每天的最大利润.

答案： 探究 5.解：设商品售价为$m$元/件，$y=(m-40)[100-2(m-60)]=-2m^{2}+300m-8800=-2(m-75)^{2}+2450$，
当$a≥75$时，$y_{max}=2450$；
当$60\lt a＜75$时，$y_{max}=-2a^{2}+300a-8800$.

探究 6:若商场规定这批商品每天销量不低于 20m 件,且每天利润最大为 2400 元,求 m 的值.

答案： 探究 6.解：$y=-2(x-15)^{2}+2450$，销量$100-2x≥20m,x≤50-10m$，
当$50-10m≥15$时，$x=15$，
$y_{max}=2450＞2400$，不符合题意；
当$50-10m＜15,x=50-10m$时，
$y$最大，$-2(50-10m-15)^{2}+2450=2400$，
$\therefore m_{1}=3$(舍)或$m_{2}=4$.