《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

变式2.(2024·汉川)如图,某城区公园有直径为7m的圆形水池,水池边安有排水槽,在正中心O处有喷水装置,喷出的水流呈抛物线状,当水管OA高度在6m处时,距离OA水平距离1m处喷出的水流达到最大高度为8m.
(1)求抛物线解析式,并求水流落地点B到点O的距离(即线段OB的长);
解：抛物线解析式为$y = -2(x - 1)^2 + 8$，水流落地点B到点O的距离为3m；
(2)距离OA水平距离多远的E点处,放置高为3.5m的景观射灯EF,使水流刚好经过点F?
解：距离OA水平距离2.5m的E点处；
(3)若不改变(1)中抛物线的形状和对称轴,若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内(不考虑边宽),则此时水管OA的高度为多少?
解：此时水管OA的高度为10.5m。

答案： 解：
(1)由题意知，抛物线的顶点为$(1,8)$，
$\therefore$设抛物线的解析式为$y = a(x - 1)^2 + 8$，
把$A(0,6)$代入可得$a = -2$，
$\therefore$解析式为$y = -2(x - 1)^2 + 8$，
当$y = 0$时，$x = 3$或$-1$（舍去），
答：解析式为$y = -2(x - 1)^2 + 8$，水流落地点距离$O$点的距离是$3$米；
(2)把$y = 3.5$代入$y = -2(x - 1)^2 + 8$得：
$-2(x - 1)^2 + 8 = 3.5$，
解得$x_1 = 2.5$，$x_2 = -0.5$（舍去），
$\therefore OE$间距离为$2.5$米；
(3)设$y = -2(x - 1)^2 + k$，
把$(3.5,0)$代入解得$k = 12.5$，
$y = -2(x - 1)^2 + 12.5$，
$x = 0$时，$y = 10.5$，$\therefore OA = 10.5$。

变式3.(2022·江岸)某种音乐喷泉形状如抛物线,设其出水口为原点,出水口离岸边18m,音乐变化时,抛物线的顶点在直线$y= kx$上变动,从而产生一组不同的抛物线(图2),这组抛物线的统一形式为$y= ax^{2}+bx$.
(1)若$k= 1$,且喷出的抛物线水线的最大高度达3m,求此时a,b的值;$a=-\frac{1}{3}$，$b=2$
(2)若$k= 1$,喷出的水恰好达到岸边,则此时喷出的抛物线水线的最大高度是9米;
(3)若$k= 3,a= -\frac {7}{2}$,则喷出的抛物线水线能否达到岸边?不能

答案： 解：
(1)$y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x$；
(2)$9$；
(3)设顶点为$(m,3m)$，
$y = -\frac{7}{2}(x - m)^2 + 3m$过$(0,0)$，$m = \frac{6}{7}$（$m = 0$已舍），
$\because 2m = \frac{12}{7} ＜ 18$，$\therefore$不能。

变式4.(2022·南充)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5m时,水柱落点距O点2.5m;喷头高4m时,水柱落点距O点3m,那么喷头高8m时,水柱落点距O点4m.

答案： 8
解：$y = ax^2 + bx + 2.5$，过$(2.5,0)$，
$2.5a + b + 1 = 0$，
$y = ax^2 + bx + 4$过$(3,0)$，
$9a + 3b + 4 = 0$，
$\therefore a = -\frac{2}{3}$，$b = \frac{2}{3}$，
$y = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + h$过$(4,0)$，
$h = 8$。