《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例1】二次函数$y= -x^{2}-2x+c在-3\leqslant x\leqslant 2$的范围内有最小值-5,则c的值为3.

答案： 解：$y=-(x^{2}+2x+1)+c+1=-(x+1)^{2}+c+1$，则对称轴为直线$x=-1$。当$x=2$时，$y$有最小值$-9+c+1=-5$，故$c=3$。

变式.若方程$x^{2}-2x-t= 0在-1\leqslant x\leqslant 4$范围有实数根,则t的取值范围为$-1\leqslant t\leqslant 8$.

答案： $-1\leqslant t\leqslant 8$解：$t=x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$，$x=-1$，$t=3$；$x=4$，$t=8$。$\therefore -1\leqslant t\leqslant 8$。

【典例2】已知关于x的二次函数$y= (x-h)^{2}+3$,当$1\leqslant x\leqslant 3$时,函数有最小值2h,则h的值为(C)
A.$\frac {3}{2}$
B.$\frac {3}{2}$或2
C.$\frac {3}{2}$或6
D.2,$\frac {3}{2}$或6

答案： C 提示：分三种情况讨论。

变式.已知关于x的二次函数$y= (x-a)^{2}+3-a^{2}$,当$1\leqslant x\leqslant 3$时,函数有最小值2a,求a的值.

答案： 解：①$a＞3$，$x=3$，$y_{min}=(3-a)^{2}+3-a^{2}=2a$，$a=\frac{3}{2}$（舍）；②$a\leqslant 1$，$x=1$，$y_{min}=(1-a)^{2}+3-a^{2}=2a$，$a=1$；③$1\lt a\leqslant 3$，$x=a$，$y_{min}=3-a^{2}=2a$，$a_{1}=1$，$a_{2}=-3$，$\because 1\lt a\leqslant 3$，$\therefore$不存在。综上$a=1$。

【典例3】已知二次函数$y= 2(x-1)^{2}-3在0\leqslant x\leqslant a$时,y的最大值为15,求a的值.

答案： 解：①$0\lt a\lt 1$时，$x=0$，$y_{max}=2-3=-1\neq 15$（舍）；②$1\leqslant a\leqslant 2$时，$x=0$，$y_{max}=-1\neq 15$（舍）；③$2\lt a$时，$x=a$，$y_{max}=2(a-1)^{2}-3=15$，$a-1=\pm 3$，$a_{1}=4$，$a_{2}=-2$（舍）综上$a=4$。

变式.已知$a\leqslant x\leqslant a+1$时,函数$y= (x-1)^{2}$的最小值为1,求a的值.

答案： 解：$\because x=1$，$y_{min}=0\neq 1$，$\therefore a$与$a+1$在对称轴同侧①$a\lt a+1\lt 1$，$x=a+1$，$y_{min}=1$，$\therefore (a+1-1)^{2}=1$，$a=\pm 1$，$\because a\lt 0$，$\therefore a=-1$；②$1\lt a\lt a+1$，$x=a$，$y_{min}=1$，$\therefore (a-1)^{2}=1$，$a-1=\pm 1$，$a_{1}=0$（舍），$a_{2}=2$，综上$a=-1$或$2$。