《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例】(2024·荆门)羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种,发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度$y$(单位：m)与水平距离$x$(单位：m)近似满足函数关系$y = a(x - h)^2 + k(a ≠ 0)$.某次发球时,羽毛球的水平距离$x与竖直高度y$的几组数据如下：


请根据上述数据,解决问题：
(1)直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值为$\frac {50}{27}$m，并求出满足的函数关系$y = a(x - h)^2 + k(a ≠ 0)$为$y=-\frac {2}{27}(x-4)^{2}+\frac {50}{27}$；
(2)已知羽毛球场的球网高度为1.55 m,当发球点距离球网5 m时,羽毛球能否越过球网？请说明理由.
答：羽毛球能越过球网，理由：当$x=5$时，$y=-\frac {2}{27}(5 - 4)^2+\frac {50}{27}=\frac {48}{27}=\frac {16}{9}\approx1.78＞1.55$。

答案： 解:
(1)$\frac {50}{27}$,
$y=a(x-4)^{2}+\frac {50}{27}$过$(0,\frac {2}{3})$,
$\therefore a=-\frac {2}{27}$,
$\therefore y=-\frac {2}{27}(x-4)^{2}+\frac {50}{27}$;
(2)$x=5$时,$y=\frac {16}{9}＞1.55$,
答:羽毛球能越过球网.

变式.（2022·元调）跳绳时，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线.如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是（0，1）.身高1.50m的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1m时，绳子刚好经过她的头顶.

(1)求绳子所对应的抛物线的解析式(不要求写自变量的取值范围)；
解：$y=-\frac {1}{6}x^{2}+\frac {2}{3}x+1$
(2)身高1.70 m的小兵,能否站在绳子的正下方,让绳子通过他的头顶？
(3)身高1.64 m的小伟,站在绳子的正下方,他距小涵拿绳子的手$s$ m,为确保绳子通过他的头顶(即绳子位于头顶上方),请直接写出$s$的取值范围.

答案： 1. （1）
设抛物线的解析式为$y = ax^{2}+bx + c$。
已知抛物线过$(0,1)$，$(4,1)$，$(1,1.5)$三点。
把$(0,1)$代入$y = ax^{2}+bx + c$得：$c = 1$。
把$(4,1)$，$c = 1$代入$y = ax^{2}+bx + c$得：$16a + 4b+1 = 1$，即$4a + b = 0$ ①。
把$(1,1.5)$，$c = 1$代入$y = ax^{2}+bx + c$得：$a + b+1 = 1.5$，即$a + b = 0.5$ ②。
由①$-$②得：$(4a + b)-(a + b)=0 - 0.5$。
展开括号得$4a + b - a - b=-0.5$，即$3a=-0.5$，解得$a=-\frac{1}{6}$。
把$a = -\frac{1}{6}$代入②得：$-\frac{1}{6}+b = 0.5$，$b=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$。
所以抛物线的解析式为$y =-\frac{1}{6}x^{2}+\frac{2}{3}x + 1$。
2. （2）
对于抛物线$y =-\frac{1}{6}x^{2}+\frac{2}{3}x + 1$，根据对称轴公式$x =-\frac{b}{2a}$，其中$a =-\frac{1}{6}$，$b=\frac{2}{3}$。
则对称轴$x =-\frac{\frac{2}{3}}{2×(-\frac{1}{6})}=2$。
把$x = 2$代入$y =-\frac{1}{6}x^{2}+\frac{2}{3}x + 1$得：$y=-\frac{1}{6}×2^{2}+\frac{2}{3}×2 + 1$。
先计算$-\frac{1}{6}×4+\frac{4}{3}+1$，$-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+1=\frac{-2 + 4}{3}+1=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}\approx1.67$。
因为$1.67\gt1.70$，所以身高$1.70m$的小兵不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶。
3. （3）
把$y = 1.64$代入$y =-\frac{1}{6}x^{2}+\frac{2}{3}x + 1$得：$-\frac{1}{6}x^{2}+\frac{2}{3}x + 1 = 1.64$。
方程两边同时乘以$6$得：$-x^{2}+4x + 6 = 9.84$。
移项得$x^{2}-4x + 3.84 = 0$。
对于一元二次方程$x^{2}-4x + 3.84 = 0$，其中$a = 1$，$b=-4$，$c = 3.84$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
先计算$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×3.84=16 - 15.36 = 0.64$。
则$x=\frac{4\pm\sqrt{0.64}}{2}=\frac{4\pm0.8}{2}$。
解得$x_1=\frac{4 + 0.8}{2}=2.4$，$x_2=\frac{4 - 0.8}{2}=1.6$。
所以$1.6\lt s\lt2.4$。
综上，（1）抛物线解析式为$y =-\frac{1}{6}x^{2}+\frac{2}{3}x + 1$；（2）不能；（3）$1.6\lt s\lt2.4$。