《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

10. 若$-2x^{m-n}y^{2}$与$3x^{4}y^{2m+n}$是同类项,则$3n-m$的立方根是____-2.

答案： -2【点拨】因为$-2x^{m-n}y^{2}$与$3x^{4}y^{2m+n}$是同类项，所以$\left\{\begin{array}{l} m-n=4,\\ 2m+n=2,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=2,\\ n=-2.\end{array}\right. $所以$3n-m=3×(-2)-2=-8$。因为-8的立方根是-2，所以$3n-m$的立方根是-2。

11. 方程组$\left\{\begin{array}{l} x-y= 0,\\ |x-2y|= 2\end{array}\right. $的解是$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=2\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=-2\end{array}\right. $.

答案： $\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=2\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=-2\end{array}\right. $

12. 若方程组$\left\{\begin{array}{l} y-2kx+3= 0,\\ y= (3k-1)x+2\end{array}\right. $无解,则$y= kx-2$的图象不经过第二象限.

答案： 1. 首先，将方程组$\left\{\begin{array}{l}y - 2kx+3 = 0\\y=(3k - 1)x + 2\end{array}\right.$进行处理：
由$y-2kx + 3 = 0$可得$y=2kx-3$。
因为方程组$\left\{\begin{array}{l}y = 2kx-3\\y=(3k - 1)x + 2\end{array}\right.$无解，所以这两个一次函数$y = 2kx-3$与$y=(3k - 1)x + 2$的图象平行。
对于一次函数$y = k_1x + b_1$与$y = k_2x + b_2$（$k_1,k_2$为斜率，$b_1,b_2$为截距），当$k_1 = k_2$且$b_1\neq b_2$时，两直线平行。
那么对于$y = 2kx-3$与$y=(3k - 1)x + 2$，有$2k=3k - 1$。
2. 然后，解方程$2k=3k - 1$：
移项可得：$3k-2k = 1$，解得$k = 1$。
3. 最后，分析$y=kx - 2$的图象：
把$k = 1$代入$y=kx - 2$，得到$y=x - 2$。
对于一次函数$y=x - 2$，其中$k = 1\gt0$，$b=-2\lt0$。
根据一次函数$y=kx + b$（$k\neq0$）的性质：当$k\gt0$，$b\lt0$时，函数图象经过一、三、四象限。
所以$y=kx - 2$的图象不经过第二象限。
故答案为：二。

13. 嘉淇准备解二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} x-y= 4,\\ □x+y= 8\end{array}\right. $时,发现系数“□”印刷不清楚.
(1)嘉淇把“□”猜成3,则二元一次方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-1\end{array}\right. $;
(2)妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案中x与y是一对相反数.”则原题中“□”是5.

答案：
(1)$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-1\end{array}\right. $
(2)5

14. 我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里,二元一次方程组是由算筹布置而成的.如图①,图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项,把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来,就是$\left\{\begin{array}{l} x+4y= 10,\\ 6x+11y= 34.\end{array}\right. $请你根据图②所示的算筹图,列出方程组,并求解.

解：由图②可得方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x + y = 7\\ x + 3y = 11\end{array}\right.$。
由$2x + y = 7$可得$y = 7 - 2x$，将其代入$x + 3y = 11$中，得到$x + 3(7 - 2x) = 11$，即$x + 21 - 6x = 11$，$-5x = 11 - 21$，$-5x = -10$，解得$x = $2。
把$x = 2$代入$y = 7 - 2x$，得$y = 7 - 2×2 = 7 - 4 = $3。
所以方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x = 2\\ y = 3\end{array}\right.$。

答案： 解：由图②可得方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x + y = 7\\ x + 3y = 11\end{array}\right.$。
由$2x + y = 7$可得$y = 7 - 2x$，将其代入$x + 3y = 11$中，得到$x + 3(7 - 2x) = 11$，即$x + 21 - 6x = 11$，$-5x = 11 - 21$，$-5x = -10$，解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$y = 7 - 2x$，得$y = 7 - 2×2 = 7 - 4 = 3$。
所以方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x = 2\\ y = 3\end{array}\right.$。

15. 已知关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l} 3x-7y= 16,\\ 2ax-by= 4\end{array}\right. $和$\left\{\begin{array}{l} 2x+5y= 1,\\ ax+2by= 7\end{array}\right. $有相同的解.
(1)求出它们的相同解;$\begin{cases}x = 3 \\y = - 1 \end{cases}$
(2)求$(a+b)^{2026}$的值.1

答案： $(1)$求相同的解
解：因为两个方程组有相同的解，所以这个解同时满足$\begin{cases}3x - 7y = 16 \\2x + 5y = 1 \end{cases}$。
由$3x - 7y = 16$可得$x=\frac{16 + 7y}{3}$，将其代入$2x + 5y = 1$中：
$\begin{aligned}2×\frac{16 + 7y}{3}+5y&=1\\frac{32 + 14y}{3}+5y&=1\\32 + 14y + 15y&=3\\29y&=3 - 32\\29y&=-29\\y&=-1\end{aligned}$
把$y = - 1$代入$x=\frac{16 + 7y}{3}$，得$x=\frac{16 + 7×(-1)}{3}=\frac{16 - 7}{3}=3$。
所以相同的解为$\begin{cases}x = 3 \\y = - 1 \end{cases}$。
$(2)$求$(a + b)^{2026}$的值
把$\begin{cases}x = 3 \\y = - 1 \end{cases}$代入$\begin{cases}2ax - by = 4 \\ax + 2by = 7 \end{cases}$，得到$\begin{cases}6a + b = 4&(A)\\3a - 2b = 7&(B) \end{cases}$。
由$(A)$式可得$b = 4 - 6a$，将其代入$(B)$式：
$\begin{aligned}3a - 2×(4 - 6a)&=7\\3a - 8 + 12a&=7\\15a&=7 + 8\\15a&=15\\a&=1\end{aligned}$
把$a = 1$代入$b = 4 - 6a$，得$b = 4 - 6×1=-2$。
则$a + b=1 + (-2)=-1$，所以$(a + b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
综上，答案为$(1)$$\boldsymbol{\begin{cases}x = 3 \\y = - 1 \end{cases}}$；$(2)$$\boldsymbol{1}$。

16. 阅读材料:小强同学在解方程组$\left\{\begin{array}{l} x+y+3= 10,\\ 4(x+y)-y= 25\end{array}\right. $时发现,可将第一个方程通过移项变形为$x+y= 7$,然后把第二个方程中的$x+y$换成7,可以很轻松地解出这个方程组.小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”,是中学数学里很常用的一种解题方法.
(1)请按照小强的解法解出这个方程组;$\left\{\begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array}\right.$
(2)用整体代入法解方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x+3y= -4,\\ 6x-5y= 16;\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x = 1\\y=-2\end{array}\right.$
(3)已知x,y满足方程组$\left\{\begin{array}{l} 4x^{2}-2xy= 7,\enclose{circle} {1}\\ 2x^{2}+xy= 6,\enclose{circle} {2}\end{array}\right. $求xy的值.$\frac{5}{4}$

答案： 1. （1）
解方程组$\left\{\begin{array}{l}x + y+3 = 10\\4(x + y)-y = 25\end{array}\right.$
由$x + y+3 = 10$，得$x + y=7$。
把$x + y = 7$代入$4(x + y)-y = 25$，得$4×7-y = 25$。
即$28 - y = 25$，解得$y = 3$。
把$y = 3$代入$x + y = 7$，得$x+3 = 7$，解得$x = 4$。
所以方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array}\right.$。
2. （2）
解方程组$\left\{\begin{array}{l}2x + 3y=-4\\6x - 5y = 16\end{array}\right.$
由$2x + 3y=-4$，得$6x+9y=-12$，即$6x=-9y - 12$。
把$6x=-9y - 12$代入$6x - 5y = 16$，得$-9y - 12-5y = 16$。
合并同类项得$-14y=16 + 12$，即$-14y = 28$，解得$y=-2$。
把$y = - 2$代入$2x + 3y=-4$，得$2x+3×(-2)=-4$。
即$2x-6=-4$，$2x=2$，解得$x = 1$。
所以方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}x = 1\\y=-2\end{array}\right.$。
3. （3）
解方程组$\left\{\begin{array}{l}4x^{2}-2xy = 7\\2x^{2}+xy = 6\end{array}\right.$
由$2x^{2}+xy = 6$，得$4x^{2}+2xy = 12$。
用$4x^{2}+2xy = 12$减去$4x^{2}-2xy = 7$，得$(4x^{2}+2xy)-(4x^{2}-2xy)=12 - 7$。
去括号得$4x^{2}+2xy - 4x^{2}+2xy = 5$。
合并同类项得$4xy = 5$，解得$xy=\frac{5}{4}$。
综上，（1）$\left\{\begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array}\right.$；（2）$\left\{\begin{array}{l}x = 1\\y=-2\end{array}\right.$；（3）$\frac{5}{4}$。