《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

7. 新考法分类讨论法已知一个等腰三角形的两边长x,y满足方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x-y= 3,\\ 3x+2y= 8,\end{array}\right. $则此等腰三角形的周长为5.

答案： 5 【点拨】解方程组$\begin{cases}2x - y = 3,\\3x + 2y = 8,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\end{cases}$所以等腰三角形的两边长为2，1。若腰长为1，底边长为2，由$1 + 1 = 2$知，这样的三角形不存在；若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5，所以这个等腰三角形的周长为5。

8. 情境题裁剪包装盒如图,在一块纸板上裁出一款底面为正方形的长方体胶带包装盒,另外多留三处等宽接口(图中阴影部分),用于折叠后粘贴,若包装盒的高是底面边长的2倍,则包装盒的底面边长为____6 cm.

答案： 6 cm 【点拨】设包装盒的底面边长为$x$ cm，接口的宽为$y$ cm，则高为$2x$ cm，根据题意，得$\begin{cases}4x + y = 25,①\\2x + 2x + 2y = 26,②\end{cases}$② - ①，得$y = 1$。将$y = 1$代入①，解得$x = 6$。所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 6,\\y = 1.\end{cases}$所以包装盒的底面边长为6 cm。

9. [2025南阳月考]甲、乙两人在解方程组$\left\{\begin{array}{l} 4x-by= -1,\\ ax+by= 5\end{array}\right. $时,甲因看错a,解得$\left\{\begin{array}{l} x= 2,\\ y= 3.\end{array}\right. $乙将其中一个方程的b写成了其相反数,解得$\left\{\begin{array}{l} x= 1,\\ y= \frac {5}{3},\end{array}\right. $则方程组的正确解为____$\begin{cases}x = \frac{2}{7},\\y = \frac{5}{7}\end{cases}$.

答案： $\begin{cases}x = \frac{2}{7},\\y = \frac{5}{7}\end{cases}$ 【点拨】将$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$代入$4x - by = -1$，得$8 - 3b = -1$，解得$b = 3$。将$\begin{cases}x = 1,\\y = \frac{5}{3}\end{cases}$代入$4x + 3y = -1$，方程左右两边不相等，故$\begin{cases}x = 1,\\y = \frac{5}{3}\end{cases}$是方程$ax - 3y = 5$的解，将$\begin{cases}x = 1,\\y = \frac{5}{3}\end{cases}$代入$ax - 3y = 5$，解得$a = 10$，即方程组为$\begin{cases}4x - 3y = -1,\\10x + 3y = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = \frac{2}{7},\\y = \frac{5}{7}.\end{cases}$

10. 新考法同解交换法已知方程组$\left\{\begin{array}{l} 5x+y= 3,\\ ax+5y= 4\end{array}\right. 与\left\{\begin{array}{l} 5x+by= 1,\\ x-2y= 5\end{array}\right. $有相同的解,则ab的值为____28.

答案： 28 【点拨】因为方程组$\begin{cases}5x + y = 3,\\ax + 5y = 4\end{cases}$与$\begin{cases}5x + by = 1,\\x - 2y = 5\end{cases}$有相同的解，所以方程组$\begin{cases}5x + y = 3,\\x - 2y = 5\end{cases}$与题干两个方程组有相同解。解方程组$\begin{cases}5x + y = 3,\\x - 2y = 5,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 1,\\y = -2.\end{cases}$所以$\begin{cases}a - 10 = 4,\\5 - 2b = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 14,\\b = 2.\end{cases}$所以$ab = 28$。

11. 关于x,y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} x+y= p,\\ 5x+3y= 26\end{array}\right. $的解是正整数,则整数p的值的和为14.

答案： 14 【点拨】解二元一次方程组$\begin{cases}x + y = p,\\5x + 3y = 26,\end{cases}$得$\begin{cases}x = \frac{26 - 3p}{2},\\y = \frac{5p - 26}{2}.\end{cases}$因为关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = p,\\5x + 3y = 26\end{cases}$的解是正整数，所以$\frac{26 - 3p}{2}$为正整数且$\frac{5p - 26}{2}$为正整数。所以$p = 6$或$p = 8$。所以整数$p$的值的和为$6 + 8 = 14$。

12. 已知关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l} x-y= 4a-3,\\ x+2y= -5a.\end{array}\right.$
(1)当$a= 0$时,该方程组的解是$\begin{cases}x = -2,\\y = 1\end{cases}$.
(2)x与y的数量关系是$3x + y = -5$(不含字母a).
(3)是否存在有理数a,使得$|x+3|+y^{2}= 0$?若存在,请求出a的值,若不存在,请说明理由.
不存在。理由如下：因为$\vert x + 3\vert + y^2 = 0$，所以$x + 3 = 0$，$y = 0$，解得$x = -3$，将$x = -3$，$y = 0$代入方程组，得$\begin{cases}-3 = 4a - 3,\\-3 = -5a,\end{cases}$解得$a = 0$且$a = \frac{3}{5}$，矛盾，所以不存在有理数$a$，使得$\vert x + 3\vert + y^2 = 0$。

答案： 【解】
(1)$\begin{cases}x = -2,\\y = 1\end{cases}$
(2)$3x + y = -5$
(3)不存在。理由如下：因为$\vert x + 3\vert + y^2 = 0$，所以$x + 3 = 0$，$y = 0$，解得$x = -3$，将$x = -3$，$y = 0$代入方程组，得$\begin{cases}-3 = 4a - 3,\\-3 = -5a,\end{cases}$解得$a = 0$且$a = \frac{3}{5}$，矛盾，所以不存在有理数$a$，使得$\vert x + 3\vert + y^2 = 0$。

13. 新考法阅读类比法阅读下列解方程组的方法,然后解决问题.
解方程组$\begin{cases}{20x+19y= 17,①}\\{17x+16y= 14，②}\end{cases}$时,我们如果直接考虑消元,那将是比较繁杂的,而采用下面的解法则比较简便.
解:由①-②,得$3x+3y=3$,
所以$x+y=1$.③
将③×16,得$16x+16y=16$.④
②-④,得$x=-2$,将$x=-2$代入③,得$y=3$,所以原方程组的解是$\begin{cases} x=-2,\\y=3.\end{cases}$
(1)请采用上面的方法解方程组$\begin{cases}2025x + 2024y = 2023\\2022x + 2021y = 2020\end{cases}$
解:$\begin{cases}2025x + 2024y = 2023,①\\2022x + 2021y = 2020,②\end{cases}$
① - ②，得$3x + 3y = 3$，所以$x + y = 1$。③
将③×2021，得$2021x + 2021y = 2021$，④
② - ④，得$x=$-1。
把$x=$-1代入③，得$y=$2，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=$-1,\\y=$2.\end{cases}$
(2)求关于x,y的方程组$\begin{cases}(a + 2)x + ay = a + 7\\(a - 5)x + (a - 7)y = a\end{cases}$的解.
解:$\begin{cases}(a + 2)x + ay = a + 7,①\\(a - 5)x + (a - 7)y = a,②\end{cases}$
① - ②，得$7x + 7y = 7$，所以$x + y = 1$。③
将③×$(a - 5)$，得$(a - 5)x + (a - 5)y = a - 5$，④
② - ④，得$-2y = 5$，解得$y=$$-\frac{5}{2}$，
把$y=$$-\frac{5}{2}$代入③，得$x=$$\frac{7}{2}$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=$$\frac{7}{2}$,\\y=$$-\frac{5}{2}$.\end{cases}$

答案： 【解】
(1)$\begin{cases}2025x + 2024y = 2023,①\\2022x + 2021y = 2020,②\end{cases}$
① - ②，得$3x + 3y = 3$，所以$x + y = 1$。③
将③×2021，得$2021x + 2021y = 2021$，④
② - ④，得$x = -1$。
把$x = -1$代入③，得$y = 2$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = -1,\\y = 2.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}(a + 2)x + ay = a + 7,①\\(a - 5)x + (a - 7)y = a,②\end{cases}$
① - ②，得$7x + 7y = 7$，所以$x + y = 1$。③
将③×$(a - 5)$，得$(a - 5)x + (a - 5)y = a - 5$，④
② - ④，得$-2y = 5$，解得$y = -\frac{5}{2}$，
把$y = -\frac{5}{2}$代入③，得$x = \frac{7}{2}$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{7}{2},\\y = -\frac{5}{2}.\end{cases}$