《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 四根小棒的长分别是5,9,12,13,从中选择三根小棒首尾相接,搭成边长如下的四个三角形,其中是直角三角形的是 (C)
A. 5,9,12
B. 5,9,13
C. 5,12,13
D. 9,12,13

答案： C

2. 在$\triangle ABC$中,$∠A,∠B,∠C$所对的边分别为a,b,c,下列条件中,不能判定$\triangle ABC$为直角三角形的是 (D)
A. $a:b:c= 5:12:13$
B. $∠A:∠B:∠C= 2:3:5$
C. $a= 9k,b= 40k,c= 41k(k＞0)$
D. $a= 3^{2},b= 4^{2},c= 5^{2}$

答案： D

3. 若三角形的三边长分别为a,b,c,且满足$(a+b)^{2}-c^{2}= 2ab$,则此三角形中最大的角是(B)
A. 锐角
B. 直角
C. 钝角
D. 无法确定

答案： B

4. 如图,在由小正方形组成的$3×2$网格中,每个小正方形的顶点称为格点.点A,B,C,D,M,N均在格点上,其中点A,B,C,D能与点M,N构成一个直角三角形的是 (D)

A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D

答案： D

5. 新考法 逆向思维法 已知$\triangle ABC$中,$AB= k,AC= k+1,BC= 3$,当$k= $4时,$∠B= 90^{\circ }$.

答案： 4

6. 如图,$\triangle ABC$中,$AC= 5,BC= 12,AB= 13$,P为直线AB上一动点,连接PC,则线段PC的最小值是$\frac{60}{13}$.

答案： $\frac{60}{13}$

7. [2025徐州期中] 如图,把一块$\triangle ABC土地划出一个\triangle ACD$后,测得$CD= 3$米,$AD= 4$米,$BC= 12$米,$AB= 13$米,其中$∠ACB= 90^{\circ }$.
(1)判断$\triangle ACD$的形状,并说明理由;
$\triangle ACD$是直角三角形.
　理由:因为∠ACB=90°,BC=12米,AB=13米,
　所以由勾股定理得AC=5米.又因为CD=3米，AD=4米,所以AD²+CD²=25=AC²,所以△ACD是直角三角形,∠ADC=90°.
(2)求图中阴影部分土地的面积.
图中阴影部分土地的面积=24平方米.

答案：
(1)△ACD是直角三角形.
　理由:因为∠ACB=90°,BC=12米,AB=13米,
　所以由勾股定理得AC=5米.又因为CD=3米，AD=4米,所以AD²+CD²=25=AC²,所以△ACD是直角三角形,∠ADC=90°.
(2)图中阴影部分土地的面积=$\frac{1}{2}$AC×BC−$\frac{1}{2}$AD×CD=$\frac{1}{2}$×5×12−$\frac{1}{2}$×4×3=24(平方米).
点方法：将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和或差的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等.

8. 如图,有四个三角形,各有一边长为6,一边长为8,若第三边的长分别为6,8,10,12,则面积最大的三角形是 (C)

答案： C

9. 新考法 等线段代换法 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 6$,$AC= 10$,BC边上的中线$AD= 4$,则$\triangle ABC$的面积为 (B)

A. 30
B. 24
C. 20
D. 48

答案： B　[点拨]延长AD到E,使DE=AD,连接CE.因为AD为BC边上的中线,所以DC=BD.又因为∠ADB=∠EDC,所以△ADB≌△EDC,所以CE=AB=6，S△ADB=S△EDC,所以S△ABC=S△ACE.又因为AE=2AD=8,AC=10,所以AC²=AE²+CE²,所以△ACE为直角三角形,∠E=90°,所以S△ABC=S△ACE=$\frac{1}{2}$CE·AE=$\frac{1}{2}$×6×8=24.

10. 如图所示的是$3×2$的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.线段AB,CD的端点均在格点上,且交于点O,则$∠BOD$的度数为 ( )

A. $30^{\circ }$
B. $45^{\circ }$
C. $50^{\circ }$
D. $60^{\circ }$

答案：
B　[点拨]设小正方形的边长为1.如图，取格点E,连接AE,BE,易知AE//CD,所以∠BAE=∠BOD.由勾股定理得AB²=1²+2²=5,EB²=1²+2²=5,AE²=1²+3²=10,所以AB²+BE²=AE²,AB=BE.所以△ABE是等腰直角三角形.所以∠BAE=45°.所以∠BOD=45°.

11. 新考向 数学文化 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数,世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中a,b均小于c,$a= \frac {1}{2}m^{2}-\frac {1}{2},c= \frac {1}{2}m^{2}+\frac {1}{2}$,m是大于1的奇数,则$b=$m(用含m的式子表示).

答案： m　[点拨]由题意得b²=c²−a²=($\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$)²−($\frac{1}{2}$m²−$\frac{1}{2}$)²=m².因为m是大于1的奇数,所以b=m.