《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 若式子$- \sqrt { \frac { 1 } { x - 3 } }$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是(D)
A. $x \leq 3$
B. $x ＜ 3$
C. $x \geq 3$
D. $x ＞ 3$

答案： D

2. 若$y = \sqrt { x - 2 } + \sqrt { 2 - x } - 3$,则$( x + y ) ^ { 2026 }$等于(A)
A. 1
B. 5
C. -5
D. -1

答案： A

3. 已知$x$是实数,且$( x - 2 ) ( x - 5 ) \cdot \sqrt { 1 - x } = 0$,则$x ^ { 2 } + x + 1$的值为(C)
A. 13
B. 7
C. 3
D. 31或7或3

答案： C

4. 易错题 已知$a$,$b$为一个等腰三角形的两边长,且满足等式$2 \sqrt { 3 a - 9 } + 3 \sqrt { 3 - a } = b - 6$,求此等腰三角形的周长.

答案： 【解】根据题意，得$3a - 9 \geq 0$，$3 - a \geq 0$，解得$a = 3$，
所以$b - 6 = 0$，所以$b = 6$，易知等腰三角形的腰长为6，底边长为3，
所以等腰三角形的周长为$6 + 6 + 3 = 15$。

5. 已知$a满足| 2025 - a | + \sqrt { a - 2026 } = a$.
(1) 已知$\sqrt { a - 2026 }$有意义,则$a$的取值范围是____$a \geq 2026$;
(2) 根据(1)的分析,求$a - 2025 ^ { 2 }$的值.2026

答案： 【解】
(1)$a \geq 2026$
(2)因为$a \geq 2026$，所以$2025 - a ＜ 0$，
所以$|2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = a - 2025 + \sqrt{a - 2026} = a$，所以$\sqrt{a - 2026} = 2025$，
所以$2025^2 = a - 2026$，所以$a - 2025^2 = 2026$。

6. [2025衡阳月考]已知$\sqrt { a - 2 } + | b - 8 | = 0$,则$\frac { a } { b }$的平方根是(A)
A. $\pm \frac { 1 } { 2 }$
B. $- \frac { 1 } { 2 }$
C. $\pm 2$
D. 2

答案： A

7. 已知$\sqrt { 3 a - 9 }与\sqrt { b - \sqrt { 2 } }$互为相反数,解关于$x的方程( a + 2 ) x + b ^ { 2 } = 1 - a$.

答案： 【解】由题意得$\sqrt{3a - 9} + \sqrt{b - \sqrt{2}} = 0$，所以$3a - 9 = 0$，$b - \sqrt{2} = 0$，解得$a = 3$，$b = \sqrt{2}$，则原方程变形为$(3 + 2)x + 2 = 1 - 3$，解得$x = - 0.8$。

8. 已知$a$,$b$,$c$在数轴上对应点的位置如图所示,化简:$\sqrt { a ^ { 2 } } - | a + b | + \sqrt { ( c - a ) ^ { 2 } } - | b - c |$.

-a + 2b

答案： 【解】由题意可知$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，
所以$a + b ＜ 0$，$c - a ＞ 0$，$b - c ＜ 0$。
所以原式$= - a - [ - (a + b)] + (c - a) - [ - (b - c)] = - a + a + b + c - a + b - c = - a + 2b$。

9. 新考法 整体代入法 已知$a$,$b$,$c$都是实数,且满足$( 2 - a ) ^ { 2 } + \sqrt { a ^ { 2 } + b + c } + | c + 8 | = 0$,且$a x ^ { 2 } + b x + c = 0$,求代数式$3 x ^ { 2 } + 6 x + 200$的值.
【解】因为$(2 - a)^2 \geq 0$，$\sqrt{a^2 + b + c} \geq 0$，$|c + 8| \geq 0$，且$(2 - a)^2 + \sqrt{a^2 + b + c} + |c + 8| = 0$，所以$2 - a = 0$，$a^2 + b + c = 0$，$c + 8 = 0$。所以$a = $2，$c = $-8，$b = $4。
又因为$ax^2 + bx + c = 0$，所以$2x^2 + 4x - 8 = 0$。
所以$x^2 + 2x = $4。
所以$3x^2 + 6x + 200 = 3(x^2 + 2x) + 200 = $12$ + 200 = $212。

答案： 【解】因为$(2 - a)^2 \geq 0$，$\sqrt{a^2 + b + c} \geq 0$，$|c + 8| \geq 0$，且$(2 - a)^2 + \sqrt{a^2 + b + c} + |c + 8| = 0$，所以$2 - a = 0$，$a^2 + b + c = 0$，$c + 8 = 0$。所以$a = 2$，$c = - 8$，$b = 4$。
又因为$ax^2 + bx + c = 0$，所以$2x^2 + 4x - 8 = 0$。
所以$x^2 + 2x = 4$。
所以$3x^2 + 6x + 200 = 3(x^2 + 2x) + 200 = 12 + 200 = 212$。