《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 某市为鼓励市民节约使用燃气,对燃气进行分段收费,每月使用11立方米以内(包括11立方米)每立方米收费2元,超过部分按每立方米2.4元收取.如果某户的燃气使用量是x立方米(x超过11),那么燃气费用y与x的函数关系式是$y = 2.4x - 4.4$.

答案： $y = 2.4x - 4.4 $ 【点拨】某户的燃气使用量是 $x$ 立方米（$x$ 超过 11），所以超过部分为 $(x - 11)$ 立方米。因为每月使用 11 立方米以内（包括 11 立方米）每立方米收费 2 元，超过部分按每立方米 2.4 元收取，所以未超过部分的费用为 $11 \times 2 = 22$（元），超过部分的费用为 $2.4(x - 11)$ 元，所以燃气费用 $y$ 与 $x$ 的函数关系式是 $y = 2.4(x - 11) + 22 = 2.4x - 4.4$。

2. 某市自来水公司为了鼓励市民节约用水,于三月开始采用以用户为单位按月分段收费办法收取水费,三月底以前按原收费标准收费.两种收费标准见下表：

(1)居民甲三月份、四月份各用水20吨,但四月份比三月份多交水费8元,求上表中a的值；
(2)若居民甲五月份用水x(单位：吨),应交水费y(单位：元),求y与x之间的关系式.
(1)3
(2)当0＜x≤10时，y与x之间的关系式为y=1.8x；当x＞10时，y与x之间的关系式为y=3x-12。即y与x之间的关系式为y={1.8x(0＜x≤10),3x-12(x＞10)}

答案： 【解】
(1)根据题意得 $10 \times 1.8 + (20 - 10)a = 2 \times 20 + 8$，解得 $a = 3$。
(2)当 $0 ＜ x \leq 10$ 时，$y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y = 1.8x$；当 $x ＞ 10$ 时，$y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y = 10 \times 1.8 + 3(x - 10) = 3x - 12$。即 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y = \begin{cases} 1.8x(0 ＜ x \leq 10), \\ 3x - 12(x ＞ 10). \end{cases} $

3. 某商品的定价是每千克5元,元旦期间,该商品推出优惠活动,若一次购买该商品的数量超过2千克,则超过2千克的部分,价格打八折；若一次购买的数量不超过2千克(含2千克),仍按原价付款.
(1)根据题意,填写下表.

(从左到右依次填：10；18)
(2)若一次购买的数量为x千克,在x＞2的条件下,付款金额y(单位：元)与x(单位：千克)之间的关系式为______y = 4x + 2.
(3)若某顾客一次购买该商品花费了68元,求该顾客购买商品的数量.
解：该顾客购买商品的数量为16.5千克.

答案： 【解】
(1) $10$；$18$
(2) $y = 4x + 2$
(3)依题意，得 $4x + 2 = 68$，解得 $x = 16.5$，所以该顾客购买商品的数量为 $16.5$ 千克。

4. 如图,已知长方形ABCD中,AB= CD= 16,BC= DA= 24,E为CD边的中点,P为长方形ABCD边上的动点,动点P以每秒4个单位的速度从点A出发,沿着A→B→C→E运动到点E停止.设点P运动的时间为t秒,△APE的面积为y.
(1)当t= 2时,y的值是______；当t= 6时,y的值是______.
(2)求出在点P的运动过程中,y与t之间的函数关系式.

答案：
【解】
(1) $96$；$160$ 【点拨】当 $t = 2$ 时，$AP = 4 \times 2 = 8$，所以 $ \triangle APE$ 的面积 $y = \frac{1}{2} \times 24 \times 8 = 96$；当 $t = 6$ 时，$BP = 6 \times 4 - AB = 24 - 16 = 8$，所以 $PC = BC - BP = 24 - 8 = 16$。所以 $ \triangle APE$ 的面积 $y = 24 \times 16 - \frac{1}{2} \times 16 \times 8 - \frac{1}{2} \times 16 \times 8 - \frac{1}{2} \times 24 \times 8 = 160$。
(2)①当 $0 ＜ t \leq 4$ 时，点 $P$ 在 $AB$ 上（如图①），此时 $AP = 4t$，所以 $ \triangle APE$ 的面积 $y = \frac{1}{2} \times 4t \times 24 = 48t$；
②当 $4 ＜ t \leq 10$ 时，点 $P$ 在 $BC$ 上（如图②），此时 $BP = 4t - 16$，则 $PC = 24 - (4t - 16) = 40 - 4t$，所以 $ \triangle APE$ 的面积 $y = 24 \times 16 - \frac{1}{2} \times 16 \times (4t - 16) - \frac{1}{2} \times (40 - 4t) \times 8 - \frac{1}{2} \times 24 \times 8 = -16t + 256$；
③当 $10 ＜ t ＜ 12$ 时，点 $P$ 在 $CE$ 上（如图③），此时 $PE = 48 - 4t$，所以 $ \triangle APE$ 的面积 $y = \frac{1}{2}(48 - 4t) \times 24 = -48t + 576$。
综上，$y$ 与 $t$ 之间的函数关系式为 $y = \begin{cases} 48t(0 ＜ t \leq 4), \\ -16t + 256(4 ＜ t \leq 10), \\ -48t + 576(10 ＜ t ＜ 12). \end{cases} $