《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 下列方程组:①$\left\{\begin{array}{l} x+6= 13,\\ y-x= 2;\end{array}\right. $②$\left\{\begin{array}{l} x+y= 15,\\ 4y-3x= 3;\end{array}\right. $③$\left\{\begin{array}{l} \frac {1}{x}+\frac {1}{y}= 3,\\ x+y= 2;\end{array}\right. $④$\left\{\begin{array}{l} x= 1,\\ y= 2.\end{array}\right. $其中是二元一次方程组的是 (C)
A. ①②
B. ③④
C. ①②④
D. ①②③

答案： C

2. 已知$(m-1)x^{|m|}+y^{2n-1}= 3$是二元一次方程,则$m+n= $0.

答案： 0

3. 新视角 结论开放题 若关于x,y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} x+y= 2,\\ A= 0\end{array}\right. 的解为\left\{\begin{array}{l} x= 1,\\ y= 1,\end{array}\right. $则多项式A可以是$ x - y $（答案不唯一）(写出一个即可).

答案： $ x - y $（答案不唯一）

4. 下列方程组中是三元一次方程组的是 (C)
A.$\left\{\begin{array}{l} x^{2}-2= 3,\\ 3x-y= 6,\\ \frac {1}{2}x-z= 5\end{array}\right. $
B.$\left\{\begin{array}{l} x-y= 1,\\ 2x+3y= 6,\\ \frac {1}{3}x+\frac {1}{4}y= 7\end{array}\right. $
C.$\left\{\begin{array}{l} 3x-4y+2z= 3,\\ \frac {1}{2}x-y+z= -1,\\ x+y-z= -2\end{array}\right. $
D.$\left\{\begin{array}{l} \frac {1}{x}+\frac {1}{y}+\frac {1}{z}= 1,\\ 2x+3y-4z= 2,\\ \frac {x}{2}-\frac {2}{3}y-z= \frac {11}{6}\end{array}\right. $

答案： C

5. 新视角 新定义题 对于任意有理数a,b,c,d,我们规定$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d\end{vmatrix} =ad-bc$,已知x,y同时满足$\begin{vmatrix} x&y\\ -1&4\end{vmatrix} =5,\begin{vmatrix} 5&y\\ -3&x\end{vmatrix} =1$,则$x+y=$-1.

答案： -1 【点拨】因为 $ \begin{vmatrix} x & y \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = 5 $，$ \begin{vmatrix} 5 & y \\ -3 & x \end{vmatrix} = 1 $，所以联立可得 $ \begin{cases} 4x + y = 5, & ① \\ 5x + 3y = 1. & ② \end{cases} $ ①×3 - ②，得 $ 7x = 14 $，解得 $ x = 2 $。将 $ x = 2 $ 代入①，得 $ 8 + y = 5 $，解得 $ y = -3 $。所以 $ x + y = 2 - 3 = -1 $。

6. 解下列方程组:
(1)$\left\{\begin{array}{l} 2x+y= 7,\\ 2x-3y= 3;\end{array}\right. $
$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1. \end{cases}$
(2)$\left\{\begin{array}{l} 2x+y-z= 7,\\ x-2y+z= -6,\\ 3x-y+2z= -5.\end{array}\right. $
$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2, \\ z = -3. \end{cases}$

答案： 【解】
(1) $ \begin{cases} 2x + y = 7, & ① \\ 2x - 3y = 3, & ② \end{cases} $ ① - ②，得 $ 4y = 4 $，解得 $ y = 1 $。将 $ y = 1 $ 代入①，得 $ 2x + 1 = 7 $，解得 $ x = 3 $。所以原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 1. \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} 2x + y - z = 7, & ① \\ x - 2y + z = -6, & ② \\ 3x - y + 2z = -5, & ③ \end{cases} $ ① + ②，得 $ 3x - y = 1 $。④把④代入③，得 $ 1 + 2z = -5 $，解得 $ z = -3 $。把 $ z = -3 $ 分别代入①②，得 $ \begin{cases} 2x + y + 3 = 7, \\ x - 2y - 3 = -6, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2. \end{cases} $ 所以方程组的解为 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2, \\ z = -3. \end{cases} $

7. 新考向 数学文化 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题,大意是:现有一根竿子和一条绳索,用绳索去量竿子,绳索比竿子长5尺;若将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺,问绳索、竿子各有多长? 该问题中的竿子长为15尺.

答案： 15 【点拨】设绳索长为 $ x $ 尺，竿子长为 $ y $ 尺。根据题意，得 $ \begin{cases} x = y + 5, \\ \frac{x}{2} = y - 5, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 20, \\ y = 15. \end{cases} $ 所以竿子长为 15 尺。

8. 真实情境题 航天科技 2024年10月30日,神舟十九号载人飞船成功发射,三名航天员被送入中国天宫空间站,开启了中国航天事业的新篇章.二七区某中学为了培养学生科技创新意识,开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团,计划购进A,B两种航模.据了解购买1件A型航模和2件B型航模需800元;购买2件A型航模和3件B型航模需1300元.
(1)A,B两种航模每件的价格分别为多少元?
(2)张老师欲同时购买两种航模,在采购时恰逢商家推出优惠活动,两种航模均打九折出售,这次采购预计共花费990元,请问张老师有哪几种购买方案?

答案： 【解】
(1)设每件 $ A $ 型航模的价格为 $ x $ 元，每件 $ B $ 型航模的价格为 $ y $ 元，根据题意得 $ \begin{cases} x + 2y = 800, \\ 2x + 3y = 1300, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 200, \\ y = 300. \end{cases} $ 所以每件 $ A $ 型航模的价格为 200 元，每件 $ B $ 型航模的价格为 300 元。
(2)设购买 $ m $ 件 $ A $ 型航模，$ n $ 件 $ B $ 型航模，根据题意得 $ 200×0.9m + 300×0.9n = 990 $，所以 $ m = \frac{11 - 3n}{2} $。又因为 $ m $，$ n $ 均为正整数，所以 $ \begin{cases} m = 4, \\ n = 1 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 1, \\ n = 3. \end{cases} $ 所以张老师共有 2 种购买方案：方案 1：购买 4 件 $ A $ 型航模，1 件 $ B $ 型航模；方案 2：购买 1 件 $ A $ 型航模，3 件 $ B $ 型航模。