《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. -8的立方根是(B)
A. 2
B. -2
C. 2或-2
D. 4

答案： B

2. 下列计算正确的是(B)
A. $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}= \pm \frac{1}{2}$
B. $\sqrt[3]{(-8)^{2}}= 4$
C. $\sqrt[3]{(-3)^{3}}= 3$
D. $-\sqrt[3]{-2^{3}}= -2$

答案： B

3. [2025晋城期中]如图,该几何体由8个形状大小完全相同的小正方体组成.已知该几何体的体积约为$125cm^3($方块之间的缝隙忽略不计),则每个小正方体的棱长为(A)

A. 2.5cm
B. 5cm
C. 1.5cm
D. $\sqrt{2}$cm

答案： A

4. 下列说法:①立方根是它本身的数只有3个;②$\frac{1}{27}的立方根是\frac{1}{3}与-\frac{1}{3}$;③-81无立方根;④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数;⑤一个数的立方根不是正数就是负数;⑥如果一个数的算术平方根与立方根相同,那么这个数是0.其中正确的是(C)
A. ①②⑤
B. ③⑥
C. ①④
D. ②④

答案： C

5. 比较大小(填“＞”“＜”或“=”):$\sqrt[3]{28}$＞3;$\sqrt[3]{-9}$＜$-\sqrt{3}$.

答案： ＞；＜

6. 母题教材P35例6 求下列各式的值:
(1)$\sqrt[3]{-27}-(\sqrt[3]{-5})^{3}$;
(2)$\sqrt[3]{-2+\frac{3}{64}}$.

答案： 【解】
(1)$\sqrt[3]{-27}-(\sqrt[3]{-5})^{3}=-3+5=2$．
(2)$\sqrt[3]{-2+\frac{3}{64}}=\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}=-\frac{5}{4}$．

7. 求下列各式中的x:
(1)$8x^{3}+125= 0$;
$x=$$-\frac{5}{2}$
(2)$3(x-1)^{3}+81= 0$.
$x=$$-2$

答案： 【解】
(1)因为$8x^{3}+125=0$，所以$8x^{3}=-125$．
所以$x^{3}=-\frac{125}{8}$．所以$x=-\frac{5}{2}$．
(2)因为$3(x-1)^{3}+81=0$，所以$(x-1)^{3}=-27$．
所以$x-1=-3$．所以$x=-2$．

8. 新趋势跨学科综合 在做物理实验时,小明用一根细线将一个实心铁球拴住,完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中,并用一量筒量得铁球排出的水的体积为64πcm^3.小明又将铁球从水中提起,量得烧杯中的水位下降了$\frac{16}{9}$cm.请问烧杯内部的底面半径和铁球的半径各是多少?(球的体积公式为$V= \frac{4}{3}πr^{3}$,r为球的半径)

答案： 【解】设烧杯的底面半径为$R$cm，铁球的半径为$r$cm，
根据题意得$\pi R^{2}\times\frac{16}{9}=64\pi$，$\frac{4}{3}\pi r^{3}=64\pi$，解得$R=6$，
$r=\sqrt[3]{48}$．
故烧杯内部的底面半径是6cm，铁球的半径是$\sqrt[3]{48}$cm．

9. [2025菏泽牡丹区月考]已知x,y满足$\sqrt{x-3}+(y+2)^{2}= 0$,则$y^{x}$的立方根是(C)
A. $\sqrt[3]{6}$
B. -8
C. -2
D. ±2

答案： C

10. 如果$\sqrt[3]{2.37}\approx 1.333,\sqrt[3]{23.7}\approx 2.872$,那么$\sqrt[3]{-2370}\approx$(B)
A. -28.72
B. -13.33
C. -0.2872
D. -0.1333

答案： B

11. 有一个数值转换器,流程如图所示,当输入x的值为64时,输出y的值是(C)

A. 2
B. $\sqrt{8}$
C. $\sqrt{2}$
D. $\sqrt[3]{2}$

答案： C

12. 新视角新定义题 一般地,如果$x^{n}= a$(n为正整数,且n＞1),那么x叫作a的n次方根.例如:因为$2^{4}= 16,(-2)^{4}= 16$,所以16的四次方根是±2.则下列结论:
①3是81的四次方根;
②任何实数都有唯一的奇次方根;
③$S= (3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)... (3^{k}+1)(k= 2^{n}$,n为自然数),则S的三次方根是$\sqrt[3]{\frac{3^{2k}-1}{2}}$;
④当$\sqrt{(2023+a)^{2}}+\sqrt{(a-2025)^{2}}= 4048$时,整数a的所有可能的二次方根有4050个.
其中正确的有(C)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C 【点拨】①因为$3^{4}=81$，所以3是81的四次方根，故①正确；②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确；③因为$S=(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)\cdots(3^{k}+1)=\frac{1}{2}(3-1)(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)\cdots(3^{k}+1)=\frac{1}{2}(3^{2}-1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)\cdots(3^{k}+1)=\cdots=\frac{1}{2}\cdot(3^{2k}-1)$，所以$S$的三次方根是$\sqrt[3]{\frac{3^{2k}-1}{2}}$，故③正确；④由已知，得$|2023+a|+|a-2025|=4048$，即数轴上数$a$到数$-2023$和数2025的距离和为4048．又由$2025-(-2023)=4048$，故整数$a=-2023$，$-2022$，$\cdots$，$-1$，0，1，$\cdots$，2025，则整数$a$的所有可能的二次方根有0，1，$-1$，$\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$，$\cdots$，$\sqrt{2025}$，$-\sqrt{2025}$，共4051个，故④不正确，故正确的是①②③，有3个．