《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 如图,在△ABC中,A,B,C三点的坐标分别为(2,5),(6,-4),(-2,0),求△ABC的面积.

答案：
【解】如图,作出长方形DEBF.
因为A,B,C三点的坐标分别为(2,5),(6,-4),(-2,0),
所以AD=4,DC=5,EC=4,BE=8,AF=4,BF=9.
所以$S_{\triangle ABC}=S_{长方形DEBF}-S_{\triangle ADC}-S_{\triangle BEC}-S_{\triangle ABF}=8×9-\frac {1}{2}×4×5-\frac {1}{2}×8×4-\frac {1}{2}×9×4=28$.

2. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0,0),A(0,12),B(-10,8),C(-14,0),求四边形OABC的面积.

答案：
【解】如图,过点B作BD⊥x轴,垂足为D.
因为B(-10,8),
所以OD=10,BD=8.
因为A(0,12),C(-14,0),
所以OC=14,OA=12.所以CD=4.
所以$S_{四边形OABC}=S_{\triangle BCD}+S_{四边形OABD}=\frac {1}{2}BD\cdot CD+\frac {1}{2}(BD+OA)\cdot OD=\frac {1}{2}×8×4+\frac {1}{2}×(8+12)×10=16+100=116$.

3. 已知点A(2,0),B(0,2),点C在坐标轴上,且三角形ABC的面积是2,则满足条件的点C的坐标为(0,0)或(4,0)或(0,4).

答案： (0,0)或(4,0)或(0,4)【点拨】若点C在x轴上,则$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}AC×2=2$,解得AC=2,所以点C的坐标为(4,0)或(0,0);若点C在y轴上,则$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}BC×2=2$,解得BC=2,所以点C的坐标为(0,4)或(0,0).综上所述,点C的坐标为(0,0)或(4,0)或(0,4).

4. [2025成都锦江区期中]已知A(-3,-2),B(2,-2),C(3,1),D(-2,1)四个点.
(1)在图中描出A,B,C,D四个点,顺次连接A,B,C,D,A；
(2)在y轴上有一点P,且$S_{△PAB}= S_{四边形ABCD},$求出点P的坐标.

答案：
【解】
(1)画出图形如图所示.
(2)$S_{四边形ABCD}=5×3=15$.
设点P(0,t),因为$S_{\triangle PAB}=S_{四边形ABCD}$,
所以$\frac {1}{2}×5×|2+t|=15$,即|2+t|=6,
解得$t_{1}=4,t_{2}=-8$.
所以点P的坐标为(0,4)或(0,-8).

5. [2025宜昌期中]已知在平面直角坐标系中有三点A(-2,1),B(3,1),C(2,3),请回答下列问题：
(1)在如图的坐标系内描出点A,B,C的位置,连接AB,AC,BC,则△ABC的面积是______；
(2)画出△ABC关于x轴对称的$△A_1B_1C_1；$
(3)在y轴上是否存在点P,使以A,B,P三点为顶点的三角形的面积为5.若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
【解】
(1)画△ABC如图所示.
(2)画△A₁B₁C₁如图所示.
(3)存在.设点P的坐标为(0,m),
由题意得$\frac {1}{2}×5|m-1|=5$,解得m=3或m=-1.
所以点P的坐标为(0,3)或(0,-1)