《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

8. [2025杭州西湖区月考]某校舞蹈队共16名学生,测量并获取了所有学生的身高(单位:cm),数据如下:
161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175.
(1)求这16名学生身高的平均数和众数.
平均数为166.75cm，众数为165cm.
(2)对于不同组的学生,如果一组学生的身高的方差越小,则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断:在下列两组学生中,舞台呈现效果更好的是哪组?

舞台呈现效果更好的是甲组.
(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛.已确定三名学生参赛,他们的身高分别为168cm,168cm,172cm,他们的身高的方差为$s^{2}= \frac{32}{9}$,在选另外两名学生时,首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小,其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大,则选出的另外两名学生的身高分别为170cm和172cm.

答案： 【解】
(1)这组数据中出现次数最多的数是165，出现了3次，所以这16名学生身高的众数为165cm。
这16名学生身高的平均数为 $ (161 + 162 + 162 + 164 + 165 + 165 + 165 + 166 + 166 + 167 + 168 + 168 + 170 + 172 + 172 + 175) \div 16 = 166.75(cm) $。
(2)甲组身高的平均数为
$ \frac{1}{5}(162 + 165 + 165 + 166 + 166) = 164.8(cm) $，
甲组身高的方差为
$ \frac{1}{5}[(162 - 164.8)^{2} + (165 - 164.8)^{2} + (165 - 164.8)^{2} + (166 - 164.8)^{2} + (166 - 164.8)^{2}] = 2.16 $。
乙组身高的平均数为
$ \frac{1}{5}(161 + 162 + 164 + 165 + 175) = 165.4(cm) $，
乙组身高的方差为
$ \frac{1}{5}[(161 - 165.4)^{2} + (162 - 165.4)^{2} + (164 - 165.4)^{2} + (165 - 165.4)^{2} + (175 - 165.4)^{2}] = 25.04 $。
因为 $ 25.04 ＞ 2.16 $，
所以舞台呈现效果更好的是甲组。
(3)170cm；172cm