《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

13. 新考法逆向思维法 小进准备完成题目“$(■\sqrt{\frac{2}{3}}-5\sqrt{0.2})-(\sqrt{24}-\frac{1}{2}\sqrt{20})$”时,发现“■”处的数印刷不清楚.
(1)他把“■”处的数猜成6,请你计算$(6\sqrt {\frac {2}{3}}-5\sqrt {0.2})-(\sqrt {24}-\frac {1}{2}\sqrt {20})$的结果;
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题的答案是$\frac {\sqrt {6}}{2}$.”请你通过计算说明原题中“■”处的数是多少.

答案： 【解】
(1) 原式 $=6 \times \frac{\sqrt{6}}{3}-5 \times \frac{\sqrt{5}}{5}-2 \sqrt{6}+\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5}=2 \sqrt{6}-\sqrt{5}-2 \sqrt{6}+\sqrt{5}=0$.
(2) 设原题中“■”处的数是 $a$,
则 $\left(a \sqrt{\frac{2}{3}}-5 \sqrt{0.2}\right)-\left(\sqrt{24}-\frac{1}{2} \sqrt{20}\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}$,
即 $\frac{\sqrt{6}}{3} a-5 \times \frac{\sqrt{5}}{5}-2 \sqrt{6}+\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
所以 $\frac{\sqrt{6}}{3} a-\sqrt{5}-2 \sqrt{6}+\sqrt{5}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. 所以 $\left(\frac{1}{3} a-2\right) \sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
所以 $\frac{1}{3} a-2=\frac{1}{2}$, 解得 $a=\frac{15}{2}$.
所以原题中“■”处的数是 $\frac{15}{2}$.

14. 新视角新定义题 已知a,b都是实数,m为整数,若$a+b= 2m$,则称a与b是关于m的一组“平衡数”.
(1)$\sqrt {2}$与$2-\sqrt{2}$是关于1的“平衡数”;
(2)$3-\sqrt {2}$与$3+\sqrt{2}$是关于3的“平衡数”;
(3)若$a= 4+\sqrt {3},b= \sqrt {3}-4$,判断$a^{2}与b^{2}$是不是关于某数的一组“平衡数”.
是，关于19的一组“平衡数”

答案： 【解】
(1) $2-\sqrt{2}$
(2) $3+\sqrt{2}$
(3) 因为 $a=4+\sqrt{3}, b=\sqrt{3}-4$, 所以 $a^{2}+b^{2}=(4+\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3}-4)^{2}=38=2 \times 19$, 所以 $a^{2}$ 与 $b^{2}$ 是关于 19 的一组“平衡数”.

15. 新视角阅读理解题 数学阅读是学生根据已有的知识经验,通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动,是学生主动获取信息,汲取知识,发展数学思维,学习数学语言的途径之一.请你先阅读下面的材料,然后再根据要求解答提出的问题:
【问题情境】设a,b都是有理数,且满足$a+\sqrt {2}b= 3-2\sqrt {2}$,求ab的值.
解:由题意得$(a-3)+(b+2)\sqrt {2}= 0$.
因为a,b都是有理数,
所以$a-3,b+2$也是有理数.
因为$\sqrt {2}$是无理数,
所以$a-3= 0,b+2= 0$,
所以$a= 3,b= -2$,
所以$ab= 3×(-2)= -6$.
【解决问题】设x,y都是有理数,且满足$x^{2}-2y+\sqrt {5}y= 8+4\sqrt {5}$,求$x+y$的值.
【解】因为 $x^{2}-2 y+\sqrt{5} y=8+4 \sqrt{5}$,
所以 $\left(x^{2}-2 y-8\right)+(y-4) \sqrt{5}=0$.
因为 $x, y$ 都是有理数,
所以 $x^{2}-2 y-8, y-4$ 也是有理数.
因为 $\sqrt{5}$ 是无理数, 所以 $x^{2}-2 y-8=0, y-4=0$,
解得 $x= \pm 4, y=4$.
当 $x=4, y=4$ 时, $x+y=8$;
当 $x=-4, y=4$ 时, $x+y=0$.
所以 $x+y$ 的值是 8 或 0.

答案： 【解】因为 $x^{2}-2 y+\sqrt{5} y=8+4 \sqrt{5}$,
所以 $\left(x^{2}-2 y-8\right)+(y-4) \sqrt{5}=0$.
因为 $x, y$ 都是有理数,
所以 $x^{2}-2 y-8, y-4$ 也是有理数.
因为 $\sqrt{5}$ 是无理数, 所以 $x^{2}-2 y-8=0, y-4=0$,
解得 $x= \pm 4, y=4$.
当 $x=4, y=4$ 时, $x+y=8$;
当 $x=-4, y=4$ 时, $x+y=0$.
所以 $x+y$ 的值是 8 或 0.