《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

9. 直线$ y = a x + b ( a \neq 0 ) 过点 A ( 0,1 ) $,$ B ( 2,0 ) $,则关于x的方程$ a x + b = 0 $的解为(C)
A. $ x = 0 $
B. $ x = 1 $
C. $ x = 2 $
D. $ x = 3 $

答案： C

10. 如图,一次函数$ y = 2 x 和 y = a x + 4 的图象相交于点 A ( m , 3 ) $,则方程$ a x + 4 = 0 $的解为(6)

A. $ x = 6 $
B. $ x = 3 $
C. $ x = - 6 $
D. $ x = - 3 $

答案： 【点拨】因为点$A$在直线$y=2x$上，所以$3=2m$，解得$m=\frac{3}{2}$。所以点$A$的坐标为$(\frac{3}{2},3)$。因为一次函数$y=2x$和$y=ax+4$的图象相交于点$A(\frac{3}{2},3)$，所以$\frac{3}{2}a+4=3$，解得$a=-\frac{2}{3}$。所以方程$ax+4=0$可化为$-\frac{2}{3}x+4=0$，解得$x=6$。

11. 如图,点$ N ( 0,6 ) $,点M在x轴负半轴上,$ O N = 3 O M $,A为线段MN上一点,$ A B \perp x $轴,垂足为点B,$ A C \perp y $轴,垂足为点C.
(1)点M的坐标为(-2,0)；
(2)求直线MN的表达式；
(3)若点A的横坐标为-1,求长方形ABOC的面积.3

答案： 【解】
(1)$(-2,0)$
(2)设直线$MN$的表达式为$y=kx+b$，把点$M(-2,0)$和点$N(0,6)$的坐标分别代入，得$-2k+b=0$，$b=6$，解得$k=3$，所以直线$MN$的表达式为$y=3x+6$。
(3)把$x=-1$代入$y=3x+6$，得$y=3×(-1)+6=3$，所以$A(-1,3)$。所以$AC=1$，$AB=3$。所以长方形$ABOC$的面积$=1×3=3$。

12. 某游泳馆普通票价为20元/次,暑假为丰富学生的假期生活,特推出两种学生优惠卡：
①畅游卡,每张售价500元,每次游泳凭卡不再收费；
②学生卡,所需费用y(元)与游泳次数x(次)的关系如图中射线BC所示.
暑假普通票正常出售,两种学生优惠卡仅限学生暑假期间使用,不限次数.
(1)填空：$ a = $20,$ b = $30,点D的坐标为(25,500)；
(2)设小明计划暑假期间游泳x次,请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式合算？

答案： 【解】
(1)$20$；$30$；$(25,500)$
(2)当$0＜x＜20$时，选择普通票合算；当$x=20$时，普通票和学生卡费用相同，均比畅游卡合算；当$20＜x＜30$时，选择学生卡合算；当$x=30$时，畅游卡和学生卡费用相同，均比普通票合算；当$x＞30$时，选择畅游卡合算。

13. 如图,直线$ y = k x + 6 $与x轴、y轴分别交于点E,F.点E的坐标为$ ( - 8,0 ) $,点$ P ( x , y ) $是这条直线上的一个动点,点A的坐标为$ ( - 6,0 ) $.
(1)求k的值；$\frac{3}{4}$
(2)若点$ P ( x , y ) $是第二象限内的这条直线上的一个动点. 当点P运动过程中,试写出$ \triangle O P A $的面积S与x的函数关系式；$S=\frac{9}{4}x+18(-8＜x＜0)$
(3)若$ \triangle O P A 的面积为 \frac { 27 } { 8 } $,求所有符合条件的点
P的坐标.$(-\frac{13}{2},\frac{9}{8})$或$(-\frac{19}{2},-\frac{9}{8})$

答案： 【解】
(1)将点$E$的坐标$(-8,0)$代入$y=kx+6$，得$0=-8k+6$，解得$k=\frac{3}{4}$。
(2)由
(1)得该直线的表达式为$y=\frac{3}{4}x+6$。
因为$A(-6,0)$，所以$OA=6$。
又因为$y_{P}=\frac{3}{4}x_{p}+6$，且点$P$在第二象限，
所以$S=\frac{1}{2}OA\cdot|y_{P}|=\frac{1}{2}×6×(\frac{3}{4}x+6)=\frac{9}{4}x+18$。
所以$S=\frac{9}{4}x+18(-8＜x＜0)$。
(3)当$S=\frac{27}{8}$时，$\frac{1}{2}×6×|y_{P}|=\frac{27}{8}$，解得$y_{P}=±\frac{9}{8}$。
当$y=\frac{9}{8}$时，$\frac{3}{4}x+6=\frac{9}{8}$，
解得$x=-\frac{13}{2}$，
所以点$P$的坐标为$(-\frac{13}{2},\frac{9}{8})$。
当$y=-\frac{9}{8}$时，$\frac{3}{4}x+6=-\frac{9}{8}$，解得$x=-\frac{19}{2}$，
所以点$P$的坐标为$(-\frac{19}{2},-\frac{9}{8})$。
综上，点$P$的坐标为$(-\frac{13}{2},\frac{9}{8})$或$(-\frac{19}{2},-\frac{9}{8})$。