《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

10. [2025济宁月考]如图,直线$l_{1}:y= 2x+1与直线l_{2}:y= -x+4相交于点P(1,b)$,直线$l_{1},l_{2}$与x轴分别交于A,B两点.
(1)求b的值3，并结合图象写出关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x-y= -1,\\ -x-y= -4\end{array}\right. $的解$\left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=3\end{array}\right. $;
(2)求$\triangle ABP$的面积$\frac{27}{4}$;
(3)垂直于x轴的直线$x= a与直线l_{1},l_{2}$分别交于点C,D,若线段CD的长为4,求出a的值$\frac{7}{3}$或$-\frac{1}{3}$.

答案： 【解】
(1)把点$P(1,b)$代入$y=2x+1$，得$b=2×1+1=3$，所以$P(1,3)$。因为直线$l_{1}:y=2x+1$与直线$l_{2}:y=-x+4$相交于点$P(1,3)$，所以方程组$\left\{\begin{array}{l} y=2x+1,\\ y=-x+4\end{array}\right.$的解为$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=3.\end{array}\right.$所以方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x-y=-1,\\ -x-y=-4\end{array}\right.$的解为$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=3.\end{array}\right.$
(2)对于直线$l_{1}:y=2x+1$，令$y=0$，则$2x+1=0$，解得$x=-\frac {1}{2}$，所以$A(-\frac {1}{2},0)$。对于直线$l_{2}:y=-x+4$，令$y=0$，则$-x+4=0$，解得$x=4$，所以$B(4,0)$。所以$AB=4-(-\frac {1}{2})=\frac {9}{2}$。所以$S_{\triangle ABP}=\frac {1}{2}AB\cdot y_{P}=\frac {1}{2}×\frac {9}{2}×3=\frac {27}{4}$。
(3)由题意得：直线$x=a$与直线$l_{1}$的交点$C$的坐标为$(a,2a+1)$，与直线$l_{2}$的交点$D$的坐标为$(a,-a+4)$。因为$CD=4$，所以$|2a+1-(-a+4)|=4$，即：$|3a-3|=4$，解得$a=\frac {7}{3}$或$-\frac {1}{3}$。

$11. 【$材料阅读$】$　　
二元一次方程$x−y=1$有无数组解$,$如$:\begin{cases}{x=−1}\\{y=−2}\end{cases}，$$\begin{cases}{x=0}\\{y=−1}\end{cases}，$$\begin{cases}{x=1}\\{y=0}\end{cases}，$$\begin{cases}{x=\frac{5}{2}​}\\{y=\frac{3}{2} }\end{cases}，$　　$​$　　$.​$如果我们将方程的解看成一组有序数对$,$那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示$,$探究发现$:$以方程$x−y=1$的解为坐标的点落在同一条直线上$,$如图$①$所示$,$同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解$.$我们把这条直线称为该方程的图象$.$　　
$【$问题探究$】$　　
$(1)$请在图$②$中画出二元一次方程组$\begin{cases}{2x+y=4}\\{x−y=−1​}\end{cases}$中的两个二元一次方程的图象$,$该方程组的解为____;　　
$(2)$已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}{ x+2y= 4,①}\\{kx-3y= 3，②}\end{cases}$无解$,$请在图$③$中画出符合题意的两条直线$,$设方程$①$的图象与$x,y$轴的交点分别是$A,B,$方程$②$的图象与$x,y$轴的交点分别是$C,D,$计算$∠ABO+∠DCO$的度数$.$　　
$【$拓展应用$】$　　
$(3)$图$④$中包含关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}{2x+y=4}\\{mx−2m+y=−3}\end{cases}$的两个二元一次方程的图象$,$请求出该方程组的解$.$　　

答案：
【解】
(1)如图①。$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=2\end{array}\right.$
(2)因为关于$x$，$y$的二元一次方程组\left\{\begin{array}{l} x+2y=4,\enclose{circle} {1}\\ kx-3y=3\enclose{circle} {2}\end{array}\right.无解，所以$AB// CD$，如图②。因为$AB// CD$，所以$∠BAO=∠ACD$。因为$∠AOB=90^{\circ }$，所以$∠ABO+∠OAB=90^{\circ }$。所以$∠ABO+∠DCO=90^{\circ }$。
(3)易得直线$l_{1}$为方程$2x+y=4$的图象。若方程$mx-2m+y=-3$的图象过点$(0.5,3)$，则$0.5m-2m+3=-3$，解得$m=4$。因为$4×7-2×4+2=22≠-3$，所以$mx-2m+y=-3$的图象不是直线$l_{3}$。所以$mx-2m+y=-3$的图象为直线$l_{2}$。由图象得$l_{1}$，$l_{2}$相交于点$(3,-2)$，所以该方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-2.\end{array}\right.$