《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

9. 建立如图所示的直角坐标系,在$\triangle ABO$中,$A(-3,6)$,$B(6,3)$,则线段$OC$的长为______.

答案：
5　[点拨]如图，过$A$作$AD\perp x$轴于$D$，过$B$作$BE\perp x$轴于$E$。因为$A(-3, 6)$，$B(6, 3)$，
　所以$AD = OE = 6$，$OD = BE = 3$，
　所以$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}×(3 + 6)×(3 + 6) - 2×\frac{1}{2}×6×3 = \frac{1}{2}OC×3 + \frac{1}{2}OC×6$，
　所以$OC = 5$。
　

10. 如图所示是某台阶的一部分,如果点$A的坐标为(0,0)$,点$B的坐标为(1,1)$.
(1)请建立适当的平面直角坐标系,并写出点$C,D,E,F$的坐标.(已知$x$轴向右为正方向,$y$轴向上为正方向)
(2)如果该台阶有10级,你能得到该台阶的高度吗?

答案：
[解]
(1)以点$A$为原点，水平方向为$x$轴，以竖直方向为$y$轴，建立如图所示的平面直角坐标系。
　　根据题意得$C(2, 2)$，$D(3, 3)$，$E(4, 4)$，$F(5, 5)$。
　　
(2)因为每级台阶高为$1$，所以$10$级台阶的高度是$10$。

11. 如图①所示,已知四边形$ABCD$,$∠A= 90^{\circ}$,$AB= 6$,$BC= 24$,$CD= 26$,$DA= 8$.
(1)试说明:$BD⊥CB$;
(2)求四边形$ABCD$的面积;144
(3)如图②,以$A$为坐标原点,分别以$AB,AD所在直线为x$轴、$y$轴建立直角坐标系,点$P在y$轴上,若$S_{\triangle PBD}= \frac{1}{6}S_{四边形ABCD}$,求点$P$的坐标.$(0, 0)$或$(0, 16)$

答案： [解]
(1)因为$AD = 8$，$AB = 6$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，
　　所以$BD = \sqrt{AD^{2} + AB^{2}} = 10$。
　　因为$BC = 24$，$CD = 26$，所以$BD^{2} + BC^{2} = 10^{2} + 24^{2} = 26^{2} = CD^{2}$，所以$\triangle BCD$是直角三角形，且$\angle CBD = 90^{\circ}$，所以$BD\perp CB$。
(2)$S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}×6×8 + \frac{1}{2}×24×10 = 24 + 120 = 144$。
(3)因为$S_{\triangle PBD} = \frac{1}{6}S_{四边形ABCD}$，所以$\frac{1}{2}PD\cdot AB = \frac{1}{6}×144$，即$\frac{1}{2}PD×6 = 24$，解得$PD = 8$。
　因为$D(0, 8)$，点$P$在$y$轴上，
　所以$P$的坐标为$(0, 0)$或$(0, 16)$。

12. 在平面直角坐标系$xOy$中,对于任意三点$A,B,C$的“矩面积”,给出如下定义:“水平底”$a$表示任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”$h$表示任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”$S = ah$.
例如:三点坐标分别为$A(1,2)$,$B(-3,1)$,$C(2,-2)$,则“水平底”$a = 5$,“铅垂高”$h = 4$,所以“矩面积”$S = ah = 20$.
根据所给定义解决下列问题:
(1)若三点$A(1,2)$,$B(-3,1)$,$D(0,6)$,则“水平底”$a = $4,“铅垂高”$h = $5,所以“矩面积”$S = $20.
(2)若三点$A(1,2)$,$B(-3,1)$,$E(0,t)$的“矩面积”为18,求点$E$的坐标.
(3)若三点$B(-3,1)$,$C(2,-2)$,$F(m,3m)$,其中$m＞0$.若三点$B,C,F$的“矩面积”为15,求$m$的取值范围.

答案： [解]
(1)$4$；$5$；$20$
(2)由题意知$a = 1 - (-3) = 4$。
　因为“矩面积”为$18$，所以$h = 4.5$。当$h = t - 1 = 4.5$时，$t = 5.5$，所以$E(0, 5.5)$；
　当$h = 2 - t = 4.5$时，$t = -2.5$，所以$E(0, -2.5)$。
　综上所述，$E(0, 5.5)$或$E(0, -2.5)$。
(3)当$0 ＜ m\leqslant\frac{1}{3}$时，因为$B(-3, 1)$，$C(2, -2)$，$F(m, 3m)$，所以$a = 2 - (-3) = 5$，$b = 1 - (-2) = 3$，所以三点$B$、$C$、$F$的“矩面积”为$15$，满足题意；当$\frac{1}{3} ＜ m\leqslant2$时，则$a = 2 - (-3) = 5$，$b = 3m - (-2) = 3m + 2$，所以$5(3m + 2) = 15$，解得$m = \frac{1}{3}$(舍去)；当$m ＞ 2$时，则$a = m - (-3) = m + 3$，$b = 3m - (-2) = 3m + 2$，所以$a ＞ 5$，$b ＞ 8$，所以此时$ab\neq15$。综上所述，$0 ＜ m\leqslant\frac{1}{3}$。