《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. [2025宜宾月考]比较大小(填“＞”“＜”或“=”):
$5\sqrt {3}$＞$3\sqrt {5},-2\sqrt {5}$＜$-3\sqrt {2}.$

答案： $ ＞ $；$ ＜ $

2. 比较$\sqrt {6}+\sqrt {11}与\sqrt {14}+\sqrt {3}$的大小.

答案： 【解】因为$(\sqrt{6}+\sqrt{11})^{2}=17 + 2\sqrt{66}$，$(\sqrt{14}+\sqrt{3})^{2}=17 + 2\sqrt{42}$，$17 + 2\sqrt{66}＞17 + 2\sqrt{42}$，
所以$(\sqrt{6}+\sqrt{11})^{2}＞(\sqrt{14}+\sqrt{3})^{2}$。
又因为$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞0$，$\sqrt{14}+\sqrt{3}＞0$，
所以$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞\sqrt{14}+\sqrt{3}$。

3. 比较$\frac {\sqrt {a}+1}{\sqrt {a}+2}与\frac {\sqrt {a}+2}{\sqrt {a}+3}$的大小.

答案： 【解】$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}\div\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}=\frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+2)^{2}}=\frac{a + 4\sqrt{a}+3}{a + 4\sqrt{a}+4}＜1$。
易知$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＞0$，$\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}＞0$，所以$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＜\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$。
点方法 已知$a＞0$，$b＞0$，若$\frac{a}{b}＞1$，则$a＞b$；若$\frac{a}{b}=1$，则$a = b$；若$\frac{a}{b}＜1$，则$a＜b$。

4. (1)比较$\sqrt {15}-\sqrt {14}与\sqrt {14}-\sqrt {13}$的大小;
(2)比较$\sqrt {15}-\sqrt {13}与\sqrt {13}-\sqrt {11}$的大小.

答案： 【解】
(1)因为$\sqrt{15}-\sqrt{14}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{14})(\sqrt{15}+\sqrt{14})}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$，$\sqrt{14}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{14}-\sqrt{13})(\sqrt{14}+\sqrt{13})}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$，且$\sqrt{15}+\sqrt{14}＞\sqrt{14}+\sqrt{13}＞0$，
所以$\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}＜\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$，即$\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$。
(2)因为$\sqrt{15}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}$，$\sqrt{13}-\sqrt{11}=\frac{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}=\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$，且$\sqrt{15}+\sqrt{13}＞\sqrt{13}+\sqrt{11}＞0$，所以$\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}＜\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$，即$\sqrt{15}-\sqrt{13}＜\sqrt{13}-\sqrt{11}$。

5. 比较$\frac {1}{2-\sqrt {3}}与\frac {1}{\sqrt {3}-\sqrt {2}}$的大小.

答案： 【解】因为$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$，$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$2+\sqrt{3}＞\sqrt{3}+\sqrt{2}$，所以$\frac{1}{2-\sqrt{3}}＞\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$。

6. 比较$3-\sqrt {6}和\sqrt {6}-2$的大小.

答案： 【解】因为$3-\sqrt{6}-(\sqrt{6}-2)=3-\sqrt{6}-\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}$，且$5-2\sqrt{6}=\sqrt{25}-\sqrt{24}＞0$，所以$3-\sqrt{6}＞\sqrt{6}-2$。
点方法 利用作差法比较两个式子的大小时，若$a - b＞0$，则$a＞b$；若$a - b＜0$，则$a＜b$；若$a - b = 0$，则$a = b$。

7. 已知$x= \sqrt {n+3}-\sqrt {n+1},y= \sqrt {n+2}-\sqrt {n}$,试比较x,y的大小.
【解】$\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{2}＞0$，$\frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2}＞0$。因为$\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}＞\sqrt{n+2}+\sqrt{n}＞0$，所以$\frac{1}{x}＞\frac{1}{y}＞0$。所以$x$＜$y$。

答案： 【解】$\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{2}＞0$，
$\frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2}＞0$。
因为$\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}＞\sqrt{n+2}+\sqrt{n}＞0$，
所以$\frac{1}{x}＞\frac{1}{y}＞0$。所以$x＜y$。

8. 比较$A= \sqrt {54321×54324}与B= \sqrt {54323×54322}$的大小.
【解】设$54321 = x$，则$A=\sqrt{x(x + 3)}=\sqrt{x^{2}+3x}$，
$B=\sqrt{(x + 2)(x + 1)}=\sqrt{x^{2}+3x+2}$。
因为$x^{2}+3x＜x^{2}+3x+2$，所以$A$＜$B$。

答案： 【解】设$54321 = x$，则$A=\sqrt{x(x + 3)}=\sqrt{x^{2}+3x}$，
$B=\sqrt{(x + 2)(x + 1)}=\sqrt{x^{2}+3x+2}$。
因为$x^{2}+3x＜x^{2}+3x+2$，所以$A＜B$。

9. 若$0＜x＜1$,请用“＜”号连接$x,\frac {1}{x},x^{2},\sqrt {x}:$$x^{2}＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$

答案： $x^{2}＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$ 【点拨】取特殊值$x=\frac{1}{4}$，则$\frac{1}{x}=4$，$x^{2}=\frac{1}{16}$，$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$。所以$x^{2}＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$。