《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

11. 正比例函数$y= (1-m)x$的图象如图所示,则化简$\sqrt {1-2m+m^{2}}+m$的结果是(D)

A.$2m-1$
B.$1-2m$
C.2m
D.1

答案： D

12. 正比例函数$y= kx(k＜0)$,当$1≤x≤5$时,函数y的最大值和最小值之差为4,则$k= $-1.

答案： -1 [点拨]因为正比例函数 $ y = kx(k ＜ 0) $, 所以 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小. 当 $ x = 1 $ 时, $ y = k $, 当 $ x = 5 $ 时, $ y = 5k $. 因为当 $ 1 \leq x \leq 5 $ 时, 函数 $ y $ 的最大值和最小值之差为 4, 所以 $ k - 5k = 4 $, 解得 $ k = -1 $.

13. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(1,2)$,点B是正比例函数$y= x$图象上一动点,点C是y轴上一动点,则$△ABC$周长的最小值为____.

答案：
$ \sqrt{10} $ [点拨]作点 $ A $ 关于直线 $ y = x $ 的对称点 $ P $, 关于 $ y $ 轴的对称点 $ Q $, 连接 $ PQ $ 交直线 $ y = x $ 于点 $ B $, 交 $ y $ 轴于点 $ C $, 如图. 易知 $ AC = CQ,BP = AB $, 所以 $ C_{\triangle ABC} = AC + CB + AB = CQ + CB + BP $. 因为 $ P,B,C,Q $ 四点共线, 所以此时 $ \triangle ABC $ 周长最小, 最小值为线段 $ PQ $ 的长度. 由 $ A(1,2) $ 易知 $ Q(-1,2),P(2,1) $, 所以 $ PQ = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{10} $, 所以 $ \triangle ABC $ 周长的最小值为 $ \sqrt{10} $.

14. 如图,在平面直角坐标系中放着5个边长为1的小正方形,经过原点O的直线l恰好将这5个小正方形分成面积相等的两部分,求直线l的表达式.

答案：
[解]设直线 $ l $ 和 5 个小正方形最上面的交点为 $ A $, 过点 $ A $ 作 $ AB \perp y $ 轴于点 $ B $, 作 $ AC \perp x $ 轴于点 $ C $, 如图所示.
因为小正方形的边长为 1, 所以 $ OB = 2 $. 因为经过原点 $ O $ 的直线 $ l $ 将这 5 个小正方形分成面积相等的两部分, 所以两部分的面积分别是 2.5.
所以易知 $ \triangle ABO $ 的面积是 3.5.
所以 $ \frac{1}{2}OB \cdot AB = 3.5 $. 所以 $ AB = 3.5 $.
所以 $ OC = 3.5 $. 所以点 $ A $ 的坐标为 $ (3.5,2) $.
设直线 $ l $ 的表达式为 $ y = kx $, 将点 $ A $ 的坐标代入, 得 $ 2 = 3.5k $, 解得 $ k = \frac{4}{7} $. 所以直线 $ l $ 的表达式为 $ y = \frac{4}{7}x $.

15. 函数问题:
(1)作出函数$y= 2|x|$的图象:
①自变量x的取值范围是____;
②列表,在如图所示的方格中建立平面直角坐标系,并画出函数图象.
|x|…|-2|-1|0|1|2|…|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|y|…|____|____|____|____|____|…|
③当自变量x的值从1增加到2时,函数y的值增加了____.
(2)在一个变化的过程中,两个变量x与y之间可能是函数关系,也可能不是函数关系.下列各式中,y是x的函数的是____.
①$x+y= 1$;
②$|x+y|= 1$;
③$xy= 1$;
④$x^{2}+y^{2}= 1$.

答案：
[解]
(1) ① 任意实数 ② 4;2;0;2;4
函数 $ y = 2|x| $ 的图象如图.

③ 2
(2) ①③ [点拨]① 当 $ x $ 取任意实数时, 都有唯一的 $ y $ 和它对应, 所以 $ y $ 是 $ x $ 的函数, 故 ① 符合题意; ② 当 $ x = 0 $ 时, $ y = 1 $ 或 $ -1 $, 所以 $ y $ 不是 $ x $ 的函数, 故 ② 不符合题意; ③ 当 $ x $ 取任意的非零数时, 都有唯一的 $ y $ 和它对应, 所以 $ y $ 是 $ x $ 的函数, 故 ③ 符合题意; ④ 当 $ x = 0 $ 时, $ y = 1 $ 或 $ -1 $, 所以 $ y $ 不是 $ x $ 的函数, 故 ④ 不符合题意.

16. 如图,正方形ABCD的各边都平行于坐标轴,且在第一象限内,点A,C分别在直线$y= 2x和y= \frac {1}{3}x$上.
(1)如果点A的横坐标为8,$AD= 10$,求点D的坐标;
(2)如果点A在直线$y= 2x$上运动,求点B所在直线的正比例函数表达式;
(3)当四边形OADC的面积为170时,求点C的坐标.

答案：
[解]
(1) 将 $ x = 8 $ 代入 $ y = 2x $, 得 $ y = 2 \times 8 = 16 $,
所以 $ A(8,16) $.
又因为 $ AD = 10 $, 所以点 $ D $ 的横坐标为 $ 8 + 10 = 18 $.
所以 $ D(18,16) $.
(2) 设 $ A(a,2a),C(b,\frac{1}{3}b) $, 则 $ B(a,\frac{1}{3}b) $.
因为 $ AB = BC $, 所以 $ 2a - \frac{1}{3}b = b - a $,
整理, 得 $ b = \frac{9}{4}a $, 所以 $ B(a,\frac{3}{4}a) $.
设点 $ B $ 所在直线的正比例函数表达式是 $ y = mx $,
将点 $ B(a,\frac{3}{4}a) $ 的坐标代入, 得 $ am = \frac{3}{4}a $,
解得 $ m = \frac{3}{4} $,
所以点 $ B $ 所在直线的正比例函数表达式是 $ y = \frac{3}{4}x $.
(3) 如图, 延长 $ DA $ 交 $ y $ 轴于点 $ E $, 延长 $ DC $ 交 $ x $ 轴于点 $ F $. 由
(2) 得 $ A(a,2a),C(\frac{9}{4}a,\frac{3}{4}a) $.
因为 $ S_{四边形OADC} = S_{四边形OEDF} - S_{\triangle OAE} - S_{\triangle OCF} = 170 $,
所以 $ 2a \times \frac{9}{4}a - \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a - \frac{1}{2} \times \frac{9}{4}a \times \frac{3}{4}a = 170 $,
解得 $ a = 8 $ (负值已舍去), 所以易知 $ C(18,6) $.