《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 如图,$Rt△ABC$中,$AB= 9$,$BC= 6$,$∠B= 90^{\circ }$,将$△ABC$折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 (A)

A. 4
B. 3
C. 2
D. 5

答案： A

2. [2025南京秦淮区期中]如图,将三角形纸片ABC沿AD折叠,使点C落在BD边上的点E处．$BC= 9$,$CD= 4$,则$AB^{2}-AC^{2}$的值为____9．

答案： 9

3. [2025深圳盐田区期中]如图,在长方形纸片ABCD中,$AB= 8cm$,$AD= 4cm$．把纸片沿对角线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,则重叠部分$△ACF$的面积为 (B)

A. $5cm^{2}$
B. $10cm^{2}$
C. $15cm^{2}$
D. $20cm^{2}$

答案： B

4. 如图,在长方形ABCD中,$AB= 4$,$BC= 6$,点E为BC的中点,将$△ABE$沿AE所在直线折叠,使点B落在长方形内的点$B'$处,连接$CB'$,则$CB'$的长为$\frac{18}{5}$．

答案： $\frac{18}{5}$ 【点拨】连接 $BB'$ 交 $AE$ 于 $H$，易得 $BB' \perp AE$，$BB' = 2BH$。因为 $BC = 6$，点 $E$ 为 $BC$ 的中点，所以 $BE = 3$。又因为 $AB = 4$，所以在 $Rt\triangle ABE$ 中，$AE^2 = AB^2 + BE^2 = 25$，所以 $AE = 5$，所以易得 $BH = \frac{12}{5}$，所以 $BB' = 2BH = \frac{24}{5}$。因为 $B'E = BE = EC$，所以易得 $\angle BB'C = 90^{\circ}$，所以根据勾股定理得，$CB'^2 = CB^2 - BB'^2 = (\frac{18}{5})^2$。所以 $CB' = \frac{18}{5}$。

5. 如图,长方形ABCD中,$AB= 8$,$BC= 10$,在边CD上取一点E,将$△ADE$折叠后点D恰好落在BC边上的点F处．
(1)求CE的长；
答：CE的长为3。
(2)BC边上是否存在一点P,使得$PA+PE$的值最小？若存在,请求出最小值的平方；若不存在,请说明理由．
答：存在，最小值的平方为221。

答案： 【解】
(1)在长方形 $ABCD$ 中，$\angle B = \angle BCD = 90^{\circ}$，$CD = AB = 8$，$AD = BC = 10$。
由折叠知，$EF = DE$，$AF = AD = 10$。
在 $Rt\triangle ABF$ 中，根据勾股定理得，$BF = 6$，
所以 $CF = BC - BF = 4$。
设 $CE = x$，则 $EF = DE = CD - CE = 8 - x$。
在 $Rt\triangle ECF$ 中，根据勾股定理，得 $CF^2 + CE^2 = EF^2$，
即 $16 + x^2 = (8 - x)^2$，解得 $x = 3$，所以 $CE = 3$。
(2)存在。延长 $EC$ 至 $E'$ 使 $CE' = CE = 3$，连接 $AE'$ 交 $BC$ 于点 $P$，易知此时 $PA + PE$ 的值最小，为 $AE'$ 的长。在 $Rt$
$\triangle ADE'$ 中，根据勾股定理，得 $AE'^2 = AD^2 + DE'^2 = 10^2 + (8 + 3)^2 = 221$，即 $PA + PE$ 的最小值的平方为 221。

6. 如图,正方形纸片ABCD的边长为12,点F是AD上一点,将$△CDF$沿CF折叠,点D落在点G处,连接DG并延长交AB于点E,若$AE= 5$,求GE的长．

GE的长为$\frac{49}{13}$

答案： 【解】设 $CF$ 与 $DE$ 交于点 $O$。
由折叠可知 $GO = DO$，$CF \perp DG$，所以 $\angle FOD = 90^{\circ}$。
因为四边形 $ABCD$ 是正方形，
所以 $AD = CD$，$\angle A = \angle ADC = 90^{\circ} = \angle FOD$。
所以 $\angle CFD + \angle FCD = \angle CFD + \angle ADE$。
所以 $\angle ADE = \angle FCD$。
所以 $\triangle ADE \cong \triangle DCF$。
所以 $DF = AE = 5$，$DE = CF$。
在 $Rt\triangle CDF$ 中，由勾股定理易得 $CF = 13$，
所以 $DE = 13$。
因为 $S_{\triangle CDF} = \frac{1}{2}DF \cdot CD = \frac{1}{2}CF \cdot OD$，
所以 $\frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 13 \times OD$。
所以 $GO = DO = \frac{60}{13}$。
所以 $GE = 13 - 2 \times \frac{60}{13} = \frac{49}{13}$。