《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

9. 2025·苏州月考 新考法·分类讨论法 如图,$Rt△ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ}$,$AC = 12$,$AB = 9$,$DE⊥AC$,$CD = \frac{1}{3}BC$,$CE = \frac{1}{3}AC$,P是直线AC上一动点,把$△CDP$沿DP所在的直线翻折后(再展开),若点C落在直线DE上的点H处,则$CP = $______.

答案：
10或$\frac{5}{2}$ [点拨]（1）当点P在点E左边时，如图①，由折叠的性质得PC = PH，DC = DH。因为∠A = 90°，AC = 12，AB = 9，所以BC = 15。因为DH = CD = $\frac{1}{3}$BC = $\frac{1}{3}$×15 = 5，CE = $\frac{1}{3}$AC = $\frac{1}{3}$×12 = 4，DE⊥AC，所以DE = 3，所以EH = ED + DH = 3 + 5 = 8。设PC = PH = x，则PE = x - 4。在Rt△PEH中，由勾股定理得PH² - PE² = EH²，即x² - (x - 4)² = 8²，解得x = 10，即CP = 10；


（2）当点P在点E右边时，如图②所示，同上得PC = PH，DH = CD = 5，DE = 3，EC = 4，所以EH = DH - ED = 5 - 3 = 2。设PC = PH = a，则PE = 4 - a。在Rt△PEH中，由勾股定理得PH² - PE² = EH²，即a² - (4 - a)² = 2²，解得a = $\frac{5}{2}$，即PC = $\frac{5}{2}$。综上所述，PC = 10或$\frac{5}{2}$。

10. 新趋势 跨学科综合 物理课上,老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上,另一端拴在物体C上,滑块B放置在水平地面的直轨道上,通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降.实验初始状态如图①所示,物体C静止在直轨道上,物体C到滑块B的水平距离是6dm,物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm.(实验过程中,绳子始终保持绷紧状态,定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计)
(1)求绳子的总长度；
(2)如图②,若物体C升高7dm,求滑块B向左滑动的距离.

答案：
[解]（1）根据题意得AC = 8dm，BC = 6dm，∠ACB = 90°，所以由勾股定理得AB = 10dm，所以AB + AC = 10 + 8 = 18（dm）。所以绳子的总长度为18dm。
（2）如图所示。
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD² = AB² - AD² = (10 + 7)² - 8² = 225，所以BD = 15dm

所以BE = BD - DE = 15 - 6 = 9（dm）
所以滑块B向左滑动的距离为9dm。

11. 新视角 动点探究题 如图,在长方形ABCD中,$AB = 9$,$AD = 4$,E为CD边上一点,$CE = 6$,连接AE.
(1)求AE的长.5
(2)点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接PE.设点P运动的时间为t s.
①当t为何值时,$△PAE$为等腰三角形?3或4或$\frac{29}{6}$
②当t为何值时,$△PAE$为直角三角形?$\frac{2}{3}$或6

答案： [解]（1）在长方形ABCD中，∠D = 90°，CD = AB = 9。因为CE = 6，所以DE = CD - CE = 9 - 6 = 3。
又因为AD = 4，
所以在Rt△ADE中，由勾股定理得AE = 5。
（2）①分三种情况讨论：
当EP = EA时，易得AP = 6，所以BP = 3，所以t = 3；
当AP = AE时，有9 - t = 5，所以t = 4；
当PE = PA时，易得(6 - t)² + 4² = (9 - t)²，
所以t = $\frac{29}{6}$。
综上所述，当t为3或4或$\frac{29}{6}$时，△PAE为等腰三角形。
②分两种情况讨论：当∠EPA = 90°时，易得t = 6；
当∠PEA = 90°时，过点P作PF⊥CD于点F。
在Rt△EPF中，PE² = EF² + PF² = (6 - t)² + 4²，
在Rt△APE中，AP² = PE² + AE²，
所以(6 - t)² + 4² + 5² = (9 - t)²，
解得t = $\frac{2}{3}$。
综上所述，当t为$\frac{2}{3}$或6时，△PAE为直角三角形。