《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 已知一次函数$y= kx+b的图象经过点(2,3)$,与$y轴交于点B(0,4)$,与$x轴交于点A$.
(1)一次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+4$；
(2)求该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积.16

答案： 【解】
(1)$y=-\frac{1}{2}x+4$
(2)易知该函数图象与x轴的交点A的坐标为$(8,0)$，所以$OA=8$。
又易知$OB=4$，所以该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积$=\frac{1}{2}OB\cdot OA=\frac{1}{2}×4×8=16$。

2. 已知一次函数的图象经过点$(0,-2)$,且与两坐标轴围成的三角形的面积为3,求一次函数的表达式.

答案：
【解】根据已知条件画出一次函数图象的示意图，如图所示的直线AB或直线$A'B$。设直线与x轴的交点坐标为$(x,0)$，则$OA=OA'=|x|$。因为$B(0,-2)$，所以$OB=|-2|=2$。
因为$S_{△OAB}=3$，所以$\frac{1}{2}OA\cdot OB=3$，即$\frac{1}{2}|x|×2=3$，解得$x=\pm 3$，所以$A(-3,0)$，$A'(3,0)$。
设一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，把点$A(-3,0)$，$B(0,-2)$的坐标分别代入$y=kx+b$，得$-3k+b=0$，$b=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$，$b=-2$，所以$y=-\frac{2}{3}x-2$；把点$A'(3,0)$，$B(0,-2)$的坐标分别代入$y=kx+b$，得$3k+b=0$，$b=-2$，解得$k=\frac{2}{3}$，$b=-2$。所以$y=\frac{2}{3}x-2$。综上，一次函数的表达式为$y=\frac{2}{3}x-2$或$y=-\frac{2}{3}x-2$。

3. 如图,已知点$A(3,0)$,$B(0,4)$,点$D在y$轴的负半轴上,若将$\triangle DAB沿直线AD$折叠,点$B恰好落在x轴正半轴上的点C$处再将其展开.
(1)求直线$AB$的表达式；$y=-\frac{4}{3}x+4$
(2)求$C$,$D$两点的坐标；$C(8,0)$，$D(0,-6)$
(3)在直线$DA上是否存在一点P$,使得$S_{\triangle PAB}= 10$？若存在,直接写出点$P$的坐标；若不存
在,请说明理由.存在，点P的坐标为$(1,-4)$或$(5,4)$

答案： 【解】
(1)设直线AB的表达式为$y=cx+d(c≠0)$。将点$A(3,0)$，$B(0,4)$的坐标分别代入$y=cx+d$，得$0=3c+d$，$d=4$，解得$c=-\frac{4}{3}$，$d=4$，故直线AB的表达式为$y=-\frac{4}{3}x+4$。
(2)因为$A(3,0)$，$B(0,4)$，所以$OA=3$，$OB=4$，所以$AB=5$。由折叠的性质，知$AC=AB$，所以$AC=5$，所以$OC=8$，所以$C(8,0)$。设点D的坐标为$(0,m)$。
因为$BD=CD$，即$4-m=\sqrt{m^{2}+8^{2}}$，解得$m=-6$，故$D(0,-6)$。
(3)存在。点P的坐标为$(1,-4)$或$(5,4)$。【点拨】设直线AD的表达式为$y=k'x+b'(k'≠0)$，将$A(3,0)$，$D(0,-6)$两点的坐标分别代入$y=k'x+b'$，得$\begin{cases}0 = 3k'+b'\\-6 = b'\end{cases}$，解得$\begin{cases}k' = 2\\b' = -6\end{cases}$。所以直线AD的表达式为$y=2x-6$。设点P的坐标为$(n,2n-6)$。易知$BD=10$。因为$S_{△PAB}=10$，所以$S_{△PAB}=|S_{△BDP}-S_{△BDA}|=\frac{1}{2}BD×|n-3|=\frac{1}{2}×10×|n-3|=10$，解得$n=1$或5。当$n=1$时，$2×1-6=-4$；当$n=5$时，$2×5-6=4$，所以点P的坐标为$(1,-4)$或$(5,4)$。

4. 如图,两直线分别为$l_{1}:y= \frac{1}{2}x+b$,$l_{2}:y= ax$,两直线交于点$A(6,6)$,直线$l_{1}与x轴交于点B$.
(1)求$a$,$b$的值；$a=$1，$b=$3
(2)求经过点$B且平分\triangle OAB$面积的直线的表达式.$y=\frac{1}{3}x+2$

答案： 【解】
(1)因为直线$l_{1}:y=\frac{1}{2}x+b$，$l_{2}:y=ax$相交于点$A(6,6)$，所以$6=\frac{1}{2}×6+b$，$6=6a$，解得$a=1$，$b=3$。
(2)由
(1)知直线$l_{1}$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$。当$y=0$时，$\frac{1}{2}x+3=0$，解得$x=-6$。所以点B的坐标为$(-6,0)$。
设线段OA的中点为C，易知点C的坐标为$(3,3)$。所以设直线BC的表达式为$y=kx+m(k≠0)$。
因为经过点B且平分$△OAB$面积的直线一定经过线段OA的中点$C(3,3)$，把点$B(-6,0)$，$C(3,3)$的坐标分别代入$y=kx+m$，得$0=-6k+m$，$3=3k+m$，解得$k=\frac{1}{3}$，$m=2$，所以经过点B且平分$△OAB$面积的直线的表达式为$y=\frac{1}{3}x+2$。