《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 在平面直角坐标系中,点$P(m^{2}+3,2)$一定在(A)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： A

2. 在平面直角坐标系中,已知点$P(2a-4,a+3)$在y轴上,则点$P'(-a+4,3a-1)$所在的象限为(A)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： A

3. 已知点$P$在第四象限,坐标为$(10-a,3a+6)$,且点$P$到两坐标轴的距离相等,则点$P$的坐标是____(18,−18)。

答案： (18,−18)

4. 新考向 数学文化 数学家笛卡尔最早发明坐标系,在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想,用代数方法研究几何图形。如图,在平面直角坐标系中,正方形$ABCD的边长为3$,$AB// y$轴,点$A的坐标为(1,-1)$,则点$B$的坐标为____(1,−4)。

答案： (1,−4)

5. 如图,在平面直角坐标系中,以点$O$为圆心,适当长为半径画弧,交$x轴正半轴于点M$,交$y轴正半轴于点N$,再分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac {1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧在第一象限交于点$H$,画射线$OH$,若$H(2a-1,a+1)$,则$a= $2。

答案： 2 [点拨]由作图过程可知,OH为∠MON的平分线，所以∠MOH = 45°，所以易得2a−1 = a + 1，解得a = 2。

6. [2025平顶山期中]已知点$P(2a-2,a+5)$,解答下列各题。
(1)若点$P在x$轴上,求点$P$的坐标；
(2)若点$Q的坐标为(4,5)$,直线$PQ// y$轴,求点$P$的坐标；
(3)若点$P到x$轴、$y$轴的距离相等,求点$P$的坐标。

答案： [解]
(1)因为P(2a−2,a + 5)在x轴上,所以a + 5 = 0，所以a = −5，所以2a−2 = −12，所以点P的坐标为(−12,0)。
(2)因为P(2a−2,a + 5)，点Q的坐标为(4,5)，直线PQ//y轴，所以2a−2 = 4，所以a = 3，所以a + 5 = 8，所以点P的坐标为(4,8)。
(3)因为P(2a−2,a + 5)到x轴、y轴的距离相等，所以|2a−2| = |a + 5|，所以2a−2 = a + 5或2a−2 = −(a + 5)，解得a = 7或a = −1。
当a = 7时，2a−2 = 12，a + 5 = 12，则P(12,12)。
当a = −1时，2a−2 = −4，a + 5 = 4，则P(−4,4)。
综上所述，点P的坐标为(−4,4)或(12,12)。

7. 如果$a$是任意实数,那么点$P(a-4,a-2)$一定不在(D)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： D [点拨]因为(a−4)−(a−2) = −2＜0，所以点P的横坐标一定小于纵坐标。又因为在第一、二、三象限内总有点满足横坐标小于纵坐标，但是在第四象限，所有点的横坐标一定大于纵坐标，所以点P(a−4,a−2)一定不在第四象限。

8. 新考法 分类讨论法 在平面直角坐标系中,已知点$A(2,3)$,$B(4,1)$,在坐标轴上有一点$P$,且点$P到A点和到B$点的距离相等,则点$P$的坐标为((1,0)或(0,−1))
A. $(1,0)或(0,-1)$
B. $(0,3)或(4,0)$
C. $(-1,0)或(0,1)$
D. $(2,0)或(0,1)$

答案： A [点拨]若点P在x轴上，设P(t,0)，因为A(2,3)，B(4,1)，所以AP² = (2−t)² + 3²，BP² = (4−t)² + 1²。因为AP = BP，即AP² = BP²，所以(2−t)² + 3² = (4−t)² + 1²，所以t = 1，所以P(1,0)。若点P在y轴上，设P(0,m)，因为A(2,3)，点B(4,1)，所以AP² = 2² + (3−m)²，BP² = 4² + (1−m)²。因为AP = BP，即AP² = BP²，所以2² + (3−m)² = 4² + (1−m)²，所以m = −1，所以P(0,−1)。综上，点P的坐标为(1,0)或(0,−1)，故选A。

9. 新趋势 学科内综合 已知点$A(a-1,b+2)$,$B(3,4)$,$C(-1,-2)$在同一个坐标平面内,且$AB所在的直线平行于x$轴,$AC所在的直线平行于y$轴,则$a+b$的算术平方根为$\sqrt2$。

答案： $\sqrt2$

10. 在平面直角坐标系中,点$A(-2,3)$,$B(1,-4)$,经过点$A的直线l// y$轴,若点$C为直线l$上的一个动点,则当线段$BC$的长度最小时,点$C$的坐标为(−2,−4)。

答案： (−2,−4) [点拨]由垂线段最短，知当BC⊥L时，线段BC的长度最小。因为L//y轴，所以当BC⊥L时，BC//x轴，所以点C的纵坐标和点B的纵坐标相同，即为−4。因为点A和点C都在直线L上，所以点C的横坐标和点A的横坐标相同，即为−2，所以点C的坐标为(−2,−4)。

11. 在平面直角坐标系$xOy$中,有一点$P(a,b)$,实数$a$,$b$,$m$满足以下两个等式：$2a-6m+4= 0$,$b+2m-8= 0$。
(1)当$a= 1$时,点$P到x$轴的距离为____6；
(2)若点$P$在第一、三象限的角平分线上,求点$P$的坐标；(4,4)
(3)$A(3,-2)$,$AP// x$轴,求$AP$的长。10

答案： [解]
(1)6 [点拨]当a = 1时，2×1−6m + 4 = 0，解得m = 1。
把m = 1代入b + 2m−8 = 0中，得b = 6。
所以点P的坐标为(1,6)，所以点P到x轴的距离为6。
(2)当点P在第一、三象限的角平分线上时，根据点的横、纵坐标相等，可得a = b。
由2a−6m + 4 = 0，可得a = 3m−2；由b + 2m−8 = 0，可得b = −2m + 8。则3m−2 = −2m + 8，解得m = 2。
把m = 2分别代入2a−6m + 4 = 0，b + 2m−8 = 0中，得a = b = 4，
所以点P的坐标为(4,4)。
(3)由题意可知P(3m−2,−2m + 8)。因为AP//x轴，A(3,−2)，所以−2m + 8 = −2，解得m = 5，所以P(13,−2)，所以AP = 10。