《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

11. [2024河北]已知a,b,n均为正整数.
(1)若$n＜\sqrt {10}＜n+1$,则$n=$3;
(2)若$n-1＜\sqrt {a}＜n,n＜\sqrt {b}＜n+1$,则满足条件的a的个数总比b的个数少2个.

答案：
(1)3　
(2)2　【点拨】
(1)因为$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$.因为$n＜\sqrt{10}＜n+1$，n为正整数，所以$n=3$.
(2)因为$n - 1＜\sqrt{a}＜n$，所以$(n - 1)^{2}＜a＜n^{2}$，所以a的取值范围为$n^{2}-(n - 1)^{2}=n^{2}-n^{2}+2n - 1=2n - 1$.因为$n＜\sqrt{b}＜n + 1$，所以$n^{2}＜b＜(n + 1)^{2}$，所以b的取值范围为$(n + 1)^{2}-n^{2}=n^{2}+2n + 1 - n^{2}=2n + 1$.因为$(2n + 1)-(2n - 1)=2$，所以满足条件的a的个数总比b的个数少2个.

12. 某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(单位:h)可以用公式$t^{2}= \frac {d^{3}}{900}$来估计,其中d(单位:km)是雷雨区域的直径.
(1)如果某场雷雨区域的直径是10 km,那么这场雷雨大约能持续多长时间? (结果保留根号)
(2)如果这场雷雨持续了20 min,那么这场雷雨区域的直径大约是多少? (结果精确到0.1 km)

答案： 【解】
(1)把$d = 10$代入$t^{2}=\frac{d^{3}}{900}$，得$t^{2}=\frac{10^{3}}{900}=\frac{1000}{900}$.所以$t=\sqrt{\frac{1000}{900}}=\frac{\sqrt{10}}{3}$.所以这场雷雨大约能持续$\frac{\sqrt{10}}{3}h$.
(2)$20min=\frac{1}{3}h$.把$t=\frac{1}{3}$代入$t^{2}=\frac{d^{3}}{900}$，得$(\frac{1}{3})^{2}=\frac{d^{3}}{900}$.所以$d=\sqrt[3]{100}\approx4.6$.所以这场雷雨区域的直径大约是4.6km.

13. 某数学兴趣小组准备探究无理数.
(1)$\sqrt {2}$到底有多大? 下面是探索$\sqrt {2}$的近似值的过程,请补充完整;
如图甲所示,我们知道面积是2的正方形边长是$\sqrt {2}$,且$\sqrt {2}＞1.4$.设$\sqrt {2}= 1.4+x.$
由图甲可得,$x^{2}+2.8x+1.96= 2.$

因为x值很小,所以$x^{2}$更小,略去$x^{2}$,得方程$2.8x+1.96= 2,$
解得$x\approx $____(保留到0.001),
即$\sqrt {2}\approx $____;
(2)数学兴趣小组依据上面的方法接着探究$\sqrt {3}$的近似值,如图乙所示,面积是3的正方形边长是$\sqrt {3}$,且$\sqrt {3}＞1.7$.设$\sqrt {3}= 1.7+y,... $,请把图乙和剩余的过程补充完整(结果保留到0.001);
(3)怎样画出$\sqrt {2}和\sqrt {5}$,请一起参与探索画的过程.
该兴趣小组的做法是:设新正方形的边长为$x(x＞0)$.依题意,割补前后图形的面积相等,有$x^{2}= 2$,解得$x= \sqrt {2}$.把2个边长为1的正方形,如图①所示进行分割,然后在图②中用实线画出拼接成的新正方形.如图③所示,现有5个边长为1的正方形,请参考上面的做法,把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求:在图③中画出分割线,并在图④中用实线画出拼接成的新正方形,直接画出图形即可.

答案：
【解】
(1)0.014;1.414
(2)2.89;$y^{2}$由题图乙可得，$y^{2}+3.4y+2.89=3$.因为y值很小，所以$y^{2}$更小，略去$y^{2}$，得方程$3.4y+2.89=3$，解得$y\approx0.032$，即$\sqrt{3}\approx1.732$.
(3)如图①②所示.