《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

10. 已知点$P(2m-6,m+2)$。若点P和点Q都在过点$A(2,3)$且与x轴平行的直线上,$PQ= 3$,求点Q的坐标。

答案： 【解】因为点P和点Q都在过点$A(2,3)$且与x轴平行的直线上,所以点P和点Q的纵坐标都为3.
所以$m+2=3$.所以$m=1$.所以$P(-4,3)$.
又因为$PQ=3$,所以点Q的横坐标为-1或-7.
所以点Q的坐标为$(-1,3)$或$(-7,3)$.

11. [2025九江期中]已知点$P(2a-3,a+6)$,解答下列各题：
(1)若点Q的坐标为$(3,3)$,且直线$PQ// x$轴,求出点P的坐标；
(2)若点P在第二象限,且它到x轴、y轴的距离相等,求$a^{2025}+\sqrt[3]{a}$的值。

答案： 【解】
(1)因为直线$PQ// x$轴,点Q的坐标为$(3,3)$.
所以点P的纵坐标为3.
所以$a+6=3$.所以$a=-3$,
所以$2a-3=-6-3=-9$,所以点P的横坐标为-9.
所以点P的坐标为$(-9,3)$.
(2)因为点P在第二象限,且它到x轴、y轴的距离相等,所以$-(2a-3)=a+6$,解得$a=-1$.
所以$a^{2025}+\sqrt[3]{a}=(-1)^{2025}+\sqrt[3]{-1}=(-1)+(-1)=-2$.

12. 过点$M(a,-3)$,$N(6,-5)$的直线与y轴平行,则点M关于x轴对称的点的坐标是$(6,3)$。

答案： $(6,3)$

13. 已知点$A(2a+b,5+a)$,$B(2b-1,-a+b)$。
(1)若点A,B关于x轴对称,求a,b的值；
(2)若点A,B关于y轴对称,求$(4a+4b)^{2025}$的值。

答案： 【解】
(1)因为点A,B关于x轴对称,所以$2a+b=2b-1,5+a-a+b=0$,解得$a=-3,b=-5$.
(2)因为点A,B关于y轴对称,
所以$2a+b+2b-1=0,5+a=-a+b$,
解得$a=-\frac{7}{4},b=\frac{3}{2}$.
所以$(4a+4b)^{2025}=(-7+6)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$.

14. 如图,在直角坐标系中,点A的坐标为$(3,-2)$,直线$MN// x$轴且交y轴于点$C(0,1)$,则点A关于直线MN的对称点的坐标为( )

A. $(-2,3)$
B. $(-3,-2)$
C. $(3,4)$
D. $(3,2)$

答案：
C【点拨】如图,作点A关于直线MN的对称点$A',AA'$交MN于点E,则$A'$的横坐标为3.
由题意得$AE=A'E=3$,所以点$A'$到x轴的距离为$3+1=4$.所以$A'(3,4)$.

15. 如图,点$P(-2,1)与点Q(a,b)关于直线l:y= -1$对称,则$a+b= $-5。

答案： -5

16. 如图,$P(-2,4)$,$M(-1,1)关于直线x= 1的对称点分别为P'$,$M'$。
(1)$P'$的坐标为(4,4),$M'$的坐标为(3,1)；
(2)$P(-2,4)关于直线x= -1$的对称点的坐标为(0,4),$N(5,-2)关于直线x= 2$的对称点的坐标为(-1,-2)；
(3)求点$(a,b)关于直线x= n$的对称点的坐标。
设对称点的坐标为$(x,y)$,
则有$\frac{a+x}{2}=n,y=b$,所以$x=2n-a$.所以点$(a,b)$关于直线$x=n$的对称点的坐标为(2n-a,b).

答案： 【解】
(1)$(4,4);(3,1)$
(2)$(0,4);(-1,-2)$
(3)设对称点的坐标为$(x,y)$,
则有$\frac{a+x}{2}=n,y=b$,所以$x=2n-a$.所以点$(a,b)$关于直线$x=n$的对称点的坐标为$(2n-a,b)$.