《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

10. 新考法 分类讨论法 如果点$P(x,y)的坐标满足x+y= xy$,那么称点P为“和谐点”.若某个“和谐点”到x轴的距离为3,则P点的坐标为$(\frac {3}{2},3)$或$(\frac {3}{4},-3)$.

答案： $(\frac {3}{2},3)$或$(\frac {3}{4},-3)$【点拨】由题意得$y=\pm 3$.因为$x+y=xy$，所以$x+3=3x$或$x-3=-3x$，解得$x=\frac {3}{2}$或$x=\frac {3}{4}$.所以点P的坐标为$(\frac {3}{2},3)$或$(\frac {3}{4},-3)$.

11. 新视角 规律探究题 如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点$(1,1)$,第2次接着运动到点$(2,0)$,第3次接着运动到点$(3,2),... $,按这样的运动规律,经过第2025次运动后,动点P的坐标是______(2025,1).

答案： $(2025,1)$

12. 立德树人 爱国主义 南沙群岛是我国固有的领土,如图是我国南沙群岛中某个小岛的平面示意图,小明建立了平面直角坐标系后,营房的坐标为$(2,-5)$,哨所2的坐标为$(-2,2).$
(1)请将小明所建的坐标系在图上画出,并写出雷达、码头、停机坪、哨所1的坐标;
(2)如果平移直角坐标系,使营房为坐标原点,值班士兵从营房出发,沿着$(3,3),(-1,6),(4,8),(-4,7),(-5,2),(1,10)$的路线巡逻,请依次写出他所经过的地方.

答案：
【解】
(1)画出坐标系如图①，雷达的坐标为$(6,3)$，码头的坐标为$(-3,-3)$，停机坪的坐标为$(5,-2)$，哨所1的坐标为$(3,5)$.
　　
(2)如图②，他所经过的地方依次为停机坪、小广场、雷达、哨所2、码头、哨所1.

13. 在平面直角坐标系中,三角形ABC的边AB在x轴上,且$AB= 3$,已知点A的坐标为$(2,0)$,点C的坐标为$(-2,4).$
(1)在如图所示的直角坐标系中画出所有符合条件的三角形ABC,并写出点B的坐标;
(2)求三角形ABC的面积.

答案：
【解】
(1)如图①所示，当点B在点A的左边时，$2-3=-1$，所以点B的坐标为$(-1,0)$；
如图②所示，当点B在点A的右边时，$2+3=5$，所以点B的坐标为$(5,0)$.
综上，点B的坐标为$(-1,0)$或$(5,0)$.
　　　 　　
(2)三角形ABC的面积为$\frac {1}{2}×3×4=6$.

14. 新视角 新定义题 在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义:点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”,当点P的“短距”等于点Q的“短距”时,称P,Q两点为“等距点”.
(1)点$A(-5,-2)$的“短距”为______2;
(2)若点$B(-2,-2m+1)$的“短距”为1,求m的值;
由题意可知$|-2m+1|=1$，解得$m=1$或$m=0$.
(3)若$C(-1,k+3),D(4,2k-3)$两点为“等距点”,求k的值.
分类讨论：①$|2k-3|=|-1|$，解得$k=1$或$k=2$，$k=1$时，$|k+3|=4＞|-1|$，符合题意；$k=2$时，$|k+3|=5＞|-1|$，符合题意.②$|k+3|=|2k-3|$，解得$k=6$或$k=0$，$k=0$时，$|k+3|=3＞|-1|$，不合题意，舍去；$k=6$时，$|k+3|=9＞|-1|$，不合题意，舍去.综上，$k=1$或2.

答案： 【解】
(1)2
(2)由题意可知$|-2m+1|=1$，解得$m=1$或$m=0$.
(3)分类讨论：①$|2k-3|=|-1|$，解得$k=1$或$k=2$，$k=1$时，$|k+3|=4＞|-1|$，符合题意；$k=2$时，$|k+3|=5＞|-1|$，符合题意.
②$|k+3|=|2k-3|$，解得$k=6$或$k=0$，$k=0$时，$|k+3|=3＞|-1|$，不合题意，舍去；$k=6$时，$|k+3|=9＞|-1|$，不合题意，舍去.综上，$k=1$或2.