《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 若$7＜m＜9$,则化简$\sqrt{(5 - m)^2} + \sqrt{(m - 10)^2}$的结果是(C)
A. $15 - 2m$
B. $2m - 15$
C. 5
D. $-5$

答案： C

2. 已知$\triangle ABC的三边长a$,$b$,$c满足关系式a + b + c - 2\sqrt{a - 5} - 4\sqrt{b - 4} - 6\sqrt{c - 1} + 4 = 0$,试求$\triangle ABC$的周长.

答案： 【解】因为 $ a + b + c - 2 \sqrt { a - 5 } - 4 \sqrt { b - 4 } - 6 \sqrt { c - 1 } + 4 = 0 $，所以 $ ( a - 5 ) - 2 \sqrt { a - 5 } + 1 + ( b - 4 ) - 4 \sqrt { b - 4 } + 4 + ( c - 1 ) - 6 \sqrt { c - 1 } + 9 = 0 $。
所以 $ ( \sqrt { a - 5 } - 1 ) ^ { 2 } + ( \sqrt { b - 4 } - 2 ) ^ { 2 } + ( \sqrt { c - 1 } - 3 ) ^ { 2 } = 0 $。
所以 $ a - 5 = 1 $，$ b - 4 = 4 $，$ c - 1 = 9 $。
所以 $ a = 6 $，$ b = 8 $，$ c = 10 $。
所以 $ \triangle A B C $ 的周长为 $ 6 + 8 + 10 = 24 $。

3. 新考法 以形助数法 已知实数$a$,$b$在数轴上对应点的位置如图所示.

(1)化简：$\sqrt{a^2} = $$-a$,$\sqrt{(1 - b)^2} = $$1 - b$；
(2)化简：$\sqrt{(a + 1)^2} + \sqrt{b^2} - \sqrt{(a + b)^2}$.$2b - 1$

答案： 【解】
(1) $ - a $；$ 1 - b $
(2) 根据题图可知 $ - 2 ＜ a ＜ - 1 $，$ 0 ＜ b ＜ 1 $，
所以 $ a + 1 ＜ 0 $，$ a + b ＜ 0 $。
所以 $ \sqrt { ( a + 1 ) ^ { 2 } } + \sqrt { b ^ { 2 } } - \sqrt { ( a + b ) ^ { 2 } } = | a + 1 | + | b | - | a + b | = - a - 1 + b + a + b = 2 b - 1 $。

4. [2025 西安雁塔区期中] 已知$a = \sqrt{6} - 2$,$b = \sqrt{6} + 2$.
(1)求$a^2 - b^2$的值；$-8\sqrt{6}$
(2)求$a^2 + ab + b^2$的值.22

答案： 【解】
(1) 因为 $ a = \sqrt { 6 } - 2 $，$ b = \sqrt { 6 } + 2 $，
所以 $ a + b = ( \sqrt { 6 } - 2 ) + ( \sqrt { 6 } + 2 ) = 2 \sqrt { 6 } $，
$ a - b = ( \sqrt { 6 } - 2 ) - ( \sqrt { 6 } + 2 ) = - 4 $，
所以 $ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = ( a + b ) ( a - b ) = 2 \sqrt { 6 } \times ( - 4 ) = - 8 \sqrt { 6 } $。
(2) 因为 $ a = \sqrt { 6 } - 2 $，$ b = \sqrt { 6 } + 2 $，
所以 $ a b = ( \sqrt { 6 } - 2 ) \times ( \sqrt { 6 } + 2 ) = 2 $。
因为 $ a + b = 2 \sqrt { 6 } $，
所以 $ a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } = ( a + b ) ^ { 2 } - a b = ( 2 \sqrt { 6 } ) ^ { 2 } - 2 = 22 $。

5. 已知$m$是正整数,$a = \frac{\sqrt{m + 1} - \sqrt{m}}{\sqrt{m + 1} + \sqrt{m}}$,$b = \frac{\sqrt{m + 1} + \sqrt{m}}{\sqrt{m + 1} - \sqrt{m}}$,$a + b + 3ab = 2025$,则$m$的值为____505.

答案： 505 【点拨】因为 $ a = \frac { \sqrt { m + 1 } - \sqrt { m } } { \sqrt { m + 1 } + \sqrt { m } } = \frac { ( \sqrt { m + 1 } - \sqrt { m } ) ^ { 2 } } { ( \sqrt { m + 1 } + \sqrt { m } ) ( \sqrt { m + 1 } - \sqrt { m } ) } = m + 1 + m - 2 \sqrt { m ( m + 1 ) } $，$ b = \frac { \sqrt { m + 1 } + \sqrt { m } } { \sqrt { m + 1 } - \sqrt { m } } = \frac { ( \sqrt { m + 1 } + \sqrt { m } ) ^ { 2 } } { ( \sqrt { m + 1 } + \sqrt { m } ) ( \sqrt { m + 1 } - \sqrt { m } ) } = m + 1 + m + 2 \sqrt { m ( m + 1 ) } $，所以 $ a + b = 4 m + 2 $，$ a b = 1 $。又因为 $ a + b + 3 a b = 2025 $，所以 $ 4 m + 2 + 1 \times 3 = 2025 $，解得 $ m = 505 $。

6. [2025 上海黄浦区月考] 已知$a + b = 3$,$ab = 1$,且$a ＞ b$,求$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$的值.
$\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案： 【解】因为 $ ( a + b ) ^ { 2 } = 9 $，所以 $ ( a - b ) ^ { 2 } + 4 a b = 9 $。
因为 $ a b = 1 $，所以 $ ( a - b ) ^ { 2 } = 5 $。
又因为 $ a ＞ b $，所以 $ a - b = \sqrt { 5 } $。
所以 $ \frac { \sqrt { a } - \sqrt { b } } { \sqrt { a } + \sqrt { b } } = \frac { ( \sqrt { a } - \sqrt { b } ) ^ { 2 } } { a - b } = \frac { a + b - 2 \sqrt { a b } } { a - b } = \frac { 3 - 2 } { \sqrt { 5 } } = \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } $。

7. 新考法 阅读类比法 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则”. 阅读下面的材料解答问题：
平方运算和开平方运算是互逆运算. 如$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$,那么$\sqrt{a^2 \pm 2ab + b^2} = |a \pm b|$.
如何将双重二次根式$\sqrt{5 \pm 2\sqrt{6}}$化简. 我们可以把$5 \pm 2\sqrt{6}转化为(\sqrt{3})^2 \pm 2\sqrt{6} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} \pm \sqrt{2})^2$完全平方的形式,因此双重二次根式$\sqrt{5 \pm 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} \pm \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} \pm \sqrt{2}$得以化简.
(1)化简：$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = $$\sqrt{5}+\sqrt{2}$；
(2)已知$1 \leq a \leq 2$,化简$\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{a + 2\sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2\sqrt{a - 1}})$的结果为$\sqrt{2}$.

答案：
(1) $ \sqrt { 5 } + \sqrt { 2 } $
(2) $ \sqrt { 2 } $ 【点拨】因为 $ 1 \leqslant a \leqslant 2 $，所以 $ 0 \leqslant a - 1 \leqslant 1 $，所以 $ 0 \leqslant \sqrt { a - 1 } \leqslant 1 $，所以 $ \sqrt { a - 1 } - 1 \leqslant 0 $。
所以 $ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \sqrt { a + 2 \sqrt { a - 1 } } + \sqrt { a - 2 \sqrt { a - 1 } } ) $