《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 母题 教材P16问题 如图,圆柱高8cm,底面半径为2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,它沿圆柱侧面爬行的最短路程(π取3)约是(B)

A. 20cm
B. 10cm
C. 14cm
D. 无法确定

答案： B

2. 某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼(如图),在灯笼的侧面上,从顶点A到顶点$A'$缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高为50cm,底面边长为40cm,则这圈彩带的长度至少为(C)

A. 50cm
B. 120cm
C. 130cm
D. 150cm

答案： C

3. [2025郑州金水区期末]如图,正方体的棱长为2cm,A是正方体的一个顶点,B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行,从点A爬到点B的最短路径的平方是______10$cm^{2}$.

答案： 10

4. 情境题 生活应用 如图是某滑雪场U型池的示意图,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆,其边缘$AB= CD= 16$,点E在CD上,$CE= 4$.一名滑雪爱好者从A点滑到E点时,他滑行的最短路程约为______15(π取3).

答案： 15

5. 如图,四边形ABCD是一块长方形地面,$AB= 20dm,AD= 10dm$,中间有一堵墙,高$MN= 2dm$,蚂蚁从点A爬到点C,必须翻过中间这堵墙,则它至少要爬______26dm.

答案： 26

6. 如图,小区A与公路l的距离$AC= 200$米,小区B与公路l的距离$BD= 400$米,已知$CD= 800$米.
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q,使Q到A,B两小区的路程相等,求CQ的长;
(2)现要在公路旁建造一利民超市P,使P到A,B两小区的路程之和最短,求出最短路程.

答案：
【解】
(1)如图①,连接AQ,BQ,根据题意得AQ=BQ,所以$AQ^{2}=BQ^{2}$.
设CQ=x米,则DQ=(800 - x)米,
在$Rt\triangle ACQ$中,$AQ^{2}=AC^{2}+CQ^{2}=200^{2}+x^{2}$,
在$Rt\triangle BDQ$中,$BQ^{2}=BD^{2}+DQ^{2}=400^{2}+(800 - x)^{2}$.
所以$200^{2}+x^{2}=400^{2}+(800 - x)^{2}$,
解得x = 475,即CQ的长为475米.
　　　 　　
(2)如图②,作点A关于直线l的对称点$A^{\prime}$,连接$A^{\prime} B$,交直线l于点P,点P即为利民超市的位置.
连接AP,则$AP=A^{\prime} P$,
所以$AP+BP=A^{\prime} P+BP=A^{\prime} B$.
作$A^{\prime} E \perp BD$交BD的延长线于点E,
在$Rt\triangle A^{\prime} BE$中,$A^{\prime} E = CD = 800$米,$BE = BD + DE = BD + CA^{\prime}=BD + AC = 400 + 200 = 600$(米),
所以$A^{\prime} B^{2}=A^{\prime} E^{2}+BE^{2}=800^{2}+600^{2}=1000^{2}$,
所以$A^{\prime} B = 1000$米,即最短路程为1000米.

7. 在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上(如图为其示意图),有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C,B为AC的中点),柱身高约16米,则雕刻在石柱上的龙至少为______20米.

答案： 20米