《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 在平面直角坐标系中,一个动点A从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次只移动1个单位长度,其行走路线如图所示.

(1) 填写下列各点的坐标:$A_{4}$(2,0),$A_{6}$(3,1),$A_{12}$(6,0),$A_{14}$(7,1);
(2) 按此规律移动,n为正整数,则点$A_{4n}$的坐标为(2n,0),点$A_{4n+2}$的坐标为(2n+1,1);
(3) 动点A从点$A_{2024}$到点$A_{2025}$的移动方向是向上.(填“向上”“向右”或“向下”)

答案：
(1)$(2,0)$；$(3,1)$；$(6,0)$；$(7,1)$
(2)$(2n,0)$；$(2n+1,1)$
(3)向上

2. 如图,在平面直角坐标系中,$AB// EG// x$轴,$BC// DE// HG// AP// y$轴,点D,C,P,H在x轴上,$A(1,2),B(-1,2),D(-3,0),E(-3,-2),G(3,-2)$,把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线(粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按$A-B-C-D-E-F-G-H-P-A\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$的规律紧绕在图形“凸”的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是((-3,0))
A. $(1,2)$
B. $(-1,0)$
C. $(-1,-2)$
D. $(-3,0)$

答案： D 【点拨】因为$AB// EG// x$轴，$BC// DE// HG// AP// y$轴，且$A(1,2)$，$B(-1,2)$，$D(-3,0)$，$E(-3,-2)$，$G(3,-2)$，所以$AB=2$，$BC=AP=2$，$CD=HP=2$，$DE=HG=2$，$EF=GF=3$。所以绕“凸”一圈一共 20 个单位长度。因为$2026\div20=101\cdots\cdots6$，$AB+BC+CD=6$，所以细线另一端在点 D。
所以细线另一端所在位置的点的坐标是$(-3,0)$。

3. 如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中箭头方向排列,如$(0,0),(1,0),(1,1),(2,2),(2,1),(2,0),(3,0),\cdot \cdot \cdot$,根据规律探索可得,第2025个点的坐标为((63,8))
A. $(62,15)$
B. $(63,8)$
C. $(63,15)$
D. $(64,8)$

答案： B 【点拨】由题图知，第一列有 1 个点，点的横坐标为 0，第二列有 2 个点，点的横坐标为 1，第三列有 3 个点，点的横坐标为 2，…，依次类推，第$n$列有$n$个点，点的横坐标为$n - 1$，且奇数列点由上到下进行运动，偶数列点从下到上进行运动，所以所有列点的总数为$\frac{n(n + 1)}{2}$。因为$\frac{63\times64}{2}=2016$，$\frac{64\times65}{2}=2080$，$2016\lt2025\lt2080$，所以第 2025 个点在第 64 列。所以第 2025 个点的横坐标为 63。因为$2025 - 2016 = 9$，64 为偶数列，所以第 2025 个点的纵坐标为 8。所以第 2025 个点的坐标为$(63,8)$。故选 B。

4. 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,$\triangle OPQ$是直角三角形,点O为直角顶点,已知点$P(\frac{3}{2},0),Q(0,2),PQ= \frac{5}{2}$,将$\triangle OPQ$按如图方式在x轴负半轴上向左连续翻滚,依次得到$\triangle _{1},\triangle _{2},\triangle _{3},\triangle _{4},\cdot \cdot \cdot$,则$\triangle _{2025}$的直角顶点的横坐标是-4050.

答案： $-4050$ 【点拨】由题意得从$\triangle_1$的直角顶点到$\triangle_3$的直角顶点经过的路程恰好为$\triangle OPQ$的周长，即$2+\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=6$，故$\triangle_3$的直角顶点的横坐标为$-6$，$\triangle_4$的直角顶点的横坐标为$-6$。
同理，从$\triangle_4$的直角顶点到$\triangle_6$的直角顶点经过的路程恰好为$2\times(2+\frac{3}{2}+\frac{5}{2})=12$，故$\triangle_6$的直角顶点的横坐标为$-12$，$\triangle_7$的直角顶点的横坐标为$-12$，…，所以$\triangle_1$，$\triangle_4$，$\triangle_7$，…，$\triangle_{1 + 3n}$的直角顶点的横坐标为$0$，$-6$，$-12$，…，$-6n$。因为$\triangle_{2026}=\triangle_{1 + 3\times675}$，所以$\triangle_{2026}$的直角顶点的横坐标为$-6\times675=-4050$。因为$\triangle_{2026}$与$\triangle_{2025}$的直角顶点的横坐标相同，所以$\triangle_{2025}$的直角顶点的横坐标是$-4050$。

5. 如图,在平面直角坐标系xOy中,A,B,C,D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点,开始时,顶点A,B依次放在点$(1,0),(2,0)$的位置,然后向右滚动,第1次滚动使点C落在点$(3,0)$的位置,第2次滚动使点D落在点$(4,0)$的位置,$\cdot \cdot \cdot$,按此规律滚动下去,则第2025次滚动后,顶点A的坐标是____(2026,1).

答案： $(2026,1)$ 【点拨】第 1 次滚动点$A_1$的坐标为$(2,1)$，第 2 次滚动点$A_2$的坐标为$(4,1)$，第 3 次滚动点$A_3$的坐标为$(5,0)$，第 4 次滚动点$A_4$的坐标为$(5,0)$，第 5 次滚动点$A_5$的坐标为$(5,1)$，…，所以$A_{4n + 1}(4n + 2,1)$，$A_{4n + 2}(4n + 4,1)$，$A_{4n + 3}(4n + 5,0)$，$A_{4n + 4}(4n + 5,0)$。因为$2025\div4 = 506\cdots\cdots1$，所以第 2025 次滚动后，顶点$A$的坐标为$(4\times506 + 2,1)$，即$(2026,1)$。

6. 在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,把点$P_{1}(y,\frac{1}{1-x})$叫作点P的友好点.已知点$A_{1}的友好点为点A_{2}$,点$A_{2}的友好点为点A_{3},\cdot \cdot \cdot$,这样依次得到点$A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},\cdot \cdot \cdot,A_{x}$,若点$A_{1}的坐标为(\frac{1}{2},2)$,则根据友好点的定义,点$A_{2025}$的坐标为____(2,-1).

答案： $(2,-1)$ 【点拨】因为对于点$P(x,y)$，把点$P_1(y,\frac{1}{1 - x})$叫作点$P$的友好点，且点$A_1$的坐标为$(\frac{1}{2},2)$，所以$A_2(2,2)$，$A_3(2,-1)$，$A_4(-1,-1)$，$A_5(-1,\frac{1}{2})$，$A_6(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，$A_7(\frac{1}{2},2)$，…，观察发现，每 6 个点为一个循环组依次循环。因为$2025\div6 = 337\cdots\cdots3$，所以点$A_{2025}$的坐标与$A_3$的坐标相同，为$(2,-1)$。